Sześcian

Wśród brył w geometrii wyróżniamy m. in. kulę, walec, czworościan, ostrosłup, graniastosłup, prostopadłościan.
Do rodziny prostopadłościanów i graniastosłupów zaliczamy m. in. sześcian. Sześcianem zajmiemy się w dzisiejszym opracowaniu.

Definicja sześcianu
Sześcianem (inne nazwy to sześcian foremny, heksaedr) nazywamy wielościan foremny mający sześć ścian. Ściany sześcianu są kwadratami. Wszystkie ściany sześcianu, czyli kwadraty są takie same.
Przykładowy model sześcianu:

Krawędzie sześcianu
Krawędzią nazywamy linie styku dwóch powierzchni. Sześcian posiada 12 krawędzi. Wszystkie krawędzie sześcianu są tej samej długości.
Jeżeli nie wiemy, ile wynosi suma długości krawędzi danego sześcianu to możemy skorzystać ze wzoru:

gdzie
a – długość krawędzi sześcianu
Na poniższym rysunku czerwonym kolorem zaznaczono krawędzie sześcianu.

Wierzchołki sześcianu
Wierzchołkiem w geometrii trójwymiarowej nazywamy miejsce styku trzech ścian oraz punktem, w którym stykają się trzy krawędzie. Sześcian posiada 8 wierzchołków.
Na poniższym rysunku czerwonymi punktami oznaczono wierzchołki sześcianu.

Przekątne sześcianu
Przekątną w bryłach trójwymiarowych nazywamy odcinek, który łączy wierzchołek górnej podstawy z wierzchołkiem dolnej podstawy. Przekątne nie mogą być położone na tej samej ścianie. Każdy sześcian posiada 4 przekątne.
Jeżeli nie wiemy jaką długość ma przekątna sześcianu to korzystamy ze wzoru na długość przekątnej sześcianu:

gdzie:
d – długość przekątnej sześcianu
a – długość krawędzi sześcianu

Na poniższej ilustracji czerwonymi liniami oznaczono przekątne sześcianu.

Ściany sześcianu
Ściany w geometrii są ograniczeniami danej bryły. Każdy sześcian (jak sama nazwa wskazuje) ma sześć ścian. Wszystkie ściany sześcianu są jednakowymi kwadratami.

Grupa symetrii sześcianu
Grupą symetrii każdego sześcianu jest .

Kąt między ścianami sześcianu
Kąt pomiędzy dwoma dowolnymi ścianami sześcianu jest kątem prostym, czyli ma miarę 90°. Natomiast kąt bryłowy, czyli kąt trójścienny przy wierzchołku wynosi .

Szczególne przypadki sześcianu
Sześcian jest szczególnym przypadkiem wielu brył. Oto przykłady kilku z nich:
-graniastosłupa prawidłowego,
-prostopadłościanu,
-romboedru,
-hipersześcianu.

’Czy sześcian jest bryłą platońską?
Bryłami platońskimi nazywamy wielościany foremne, których ściany są przystającymi wielokątami foremnymi, czyli figurami w geometrii płaskiej, których wszystkie boki są tej samej długości, a kąty w figurze są takie same. Sześcian jest bryłą platońską, ponieważ wszystkie ich ściany są wielokątami foremnymi, a mianowicie kwadratami. Znanych jest tylko 5 brył platońskich: czworościan foremny, sześcian, ośmiościan foremny, dwunastościan foremny oraz dwudziestościan foremny.

Siatki sześcianu
Większość modeli brył przestrzennych możemy wykonać samodzielnie. Do utworzenia modelu bryły niezbędna jest wiedza na temat jej siatki, czyli odpowiedniej figury dwuwymiarowej, która po odpowiednim złożeniu i sklejeniu daje figurę trójwymiarową. Najprostszą siatką figury jest siatka sześcianu. Każda siatka sześcianu składa się z sześciu kwadratów będących w odpowiednich miejscach. Istnieje 11 siatek, które po odpowiednim złożeniu i sklejeniu dadzą sześcian.
Wszystkie siatki sześcianu:

Czerwonym kolorem została oznaczona siatka sześcianu, z którą najczęściej będziemy mieli do czynienia.

Występowanie sześcianu, czyli gdzie możemy zobaczyć sześcian
Sześciany możemy dostrzec w najbliższym nas otoczeniu.
Przykłady występowania sześcianu wokół nas:
-kryształki chlorku sodu (czyli kryształki soli kuchennej mogą przybierać formy będące sześcianami),
-kryształki pirytu (czyli minerały żelaza również mogą być sześcianami),
-kostki do gry (większość kostek do gry posiada 6 ścianek; te kostki są sześcianami),
-klasyczne kostki Rubika (czyli jedne z najpopularniejszych łamigłówek naszych czasów także są w kształcie sześcianów),
-niektóre terraria i akwaria (często te obiekty przybierają kształty sześcianów).

Pole powierzchni sześcianu
Każda figura dwuwymiarowa i trójwymiarowa ma swoje pole powierzchni. Pole powierzchni dowolnej figury jest liczbą nieujemną. Pole figury w jakimś sensie charakteryzuje rozmiar figury. Pole powierzchni oznaczamy symbolem . Otrzymany wynik zapisujmy w , czyli jednostkach kwadratowych, np. , , , .
Pole powierzchni dowolnego sześcianu określamy wzorem:

gdzie:
a – długość krawędzi sześcianu

W powyższym wzorze widzimy, że pole sześcianu jest sześć razy większe od pola kwadratu będącego ścianą sześcianu.

Objętość sześcianu
Objętość posiadają tylko figury trójwymiarowe. Objętością nazywamy miarę przestrzeni, którą zajmuje ciało w trójwymiarowej przestrzeni. Jeżeli chcemy policzyć objętość dowolnego prostopadłościanu to trzeba pole prostopadłościanu pomnożyć przez jego wysokość, która jest poprowadzona na tą podstawę. Symbolem objętości
jest V. Otrzymany wynik (w odróżnieniu od pola powierzchni) zapisujemy w , czyli jednostkach sześciennych, np. , , , .
Objętość każdego sześcianu możemy obliczyć ze wzoru:

gdzie:
– pole podstawy
– wysokość poprowadzona pod kątem prostym na podstawę

lub

gdzie:
a – długość krawędzi

Jednostka objętości – litr a sześcian
Litr jest poza – układową jednostką objętości. Symbolem litra jest l. W przeliczeniu 1 litr to 1 decymetr sześcienny, czyli 1 litr zajmuje powierzchnię sześcianu o krawędzi 10 cm. Ciekawostką jest to, że 1 litr wody to ok. 1 kg.

Kula opisana na sześcianie
W geometrii istnieje pojęcie okręgu opisanego na kwadracie. W geometrii przestrzennej jego odpowiednikiem jest kula opisana na sześcianie. W kuli opisanej na sześcianie wszystkie wierzchołki sześcianu muszą stykać się z powierzchnią kuli.
Na poniższym rysunku została ukazana kula, która jest opisana na sześcianie.

Własności kuli opisanej na sześcianie:
-długość promienia kuli jest zawsze dwa razy mniejsza od długości przekątnej sześcianu, czyli promień kuli opisanej na sześcianie możemy obliczyć ze wzoru: ,
-wiedząc, ile wynosi długość krawędzi sześcianu możemy również obliczyć objętość kuli i stosunek objętości kuli do objętości sześcianu.

Kula wpisana w sześcian
Podobnym przypadkiem do kuli opisanej na sześcianie jest kula wpisana w sześcian. Różnica polega na tym, że w kuli wpisanej w sześcian, kula znajduje się w sześcianie, a powierzchnia kuli dotyka wszystkich jego ścian.
Na poniższej ilustracji przedstawiono kulę wpisaną w sześcian.

Własności kuli wpisanej w sześcian:
-średnica kuli jest tej samej długości co krawędź sześcianu,
-znając długość krawędzi sześcianu możemy obliczyć objętość kuli wpisanej w sześcian,
-promień kuli wpisanej w sześcian możemy obliczyć ze wzoru: .

Sześcian ścięty
Sześcianem ściętym nazywamy wielościan, który posiada 14 ścian. W kształcie trójkątów równobocznych jest 8 ścian, a w kształcie ośmiokątów foremnych jest 6 ścian.
Możemy powiedzieć, że sześcian ścięty powstaje przez „ścinanie” wszystkich wierzchołków sześcianu foremnego (klasycznego).
Przykład sześcianu ściętego:

Sześcian ścięty posiada:
-36 krawędzi,
-24 wierzchołki.

Sześcian ścięty tak jak klasyczny sześcian posiada siatkę, która po odpowiednim złożeniu i sklejeniu daje odpowiednią figurę.
Przykładowa siatka sześcianu ściętego została przedstawiona na poniższej ilustracji:

Istotną rolę odgrywają kąty między ścianami w sześcianie ściętym:
-między trójkątną a ośmiokątną ścianą kąt wynosi 125,3°,
-między dwoma ścianami ośmiokątnymi kąt wynosi 90°.

Pole powierzchni sześcianu ściętego możemy obliczyć na podstawie znajomości krawędzi wzorem:

Objętość sześcianu ściętego również możemy obliczyć za pomocą znajomości długości krawędzi wzorem:

Długość krawędzi sześcianu ściętego w stosunku do długości krawędzi sześcianu foremnego (klasycznego):

Ciekawostka
„Test sześcianu” – japoński test osobowości
Jeżeli chcemy wykonać tzw. „test sześcianu” to należy usiąść wygodnie, zamknąć oczy i wyobrazić sobie, że jedzie się przez pustynie i nagle dostrzega się sześcian. Przy sześcianie zadajemy sobie pytania: czy jest duży?, czy jest mały?, czy się porusza? Później oczami wyobraźni dostrzega się drabinę. Pytania przy drabinie to: dokąd prowadzi?, gdzie jest?, czy jest duża? Na końcu spostrzegamy konia. Pytania, które zadajemy sobie odnośnie konia: czy się porusza?, jakie ma położenie względem sześcianu i drabiny?, gdzie się znajduje? Odpowiedzi na wszystkie pytania są w jakimś stopniu odzwierciedleniem naszej osobowości.

Ciekawostka
Hipersześcian
Pojęciem podobnym do pojęcia sześcianu jest hipersześcian. Hipersześcian jest uogólnieniem sześcianu występujący w przestrzeniach kartezjańskich n – wymiarowych. Pojęcia hipersześcianu używa się dla przestrzeni powyżej trójwymiarowej. Hipersześcian jest również wielokomórką foremną.

ZADANIA

ZADANIE 1
Wskaż siatkę, która po odpowiednim złożeniu i sklejeniu nie daje sześcianu.

Wskazówka: Do rozwiązania tego zadania najpierw należy określić ile dana siatka zawiera kwadratów, czyli ścian. Jak dobrze wiemy, każdy sześcian posiada 6 ścian. Następnie trzeba sobie wyobrazić, która siatka po odpowiednim złożeniu i sklejeniu daje sześcian.

1) 2) 3) 4)

Na załączonych ilustracjach siatek widzimy, że wszystkie ściany są jednakowymi kwadratami. Każda siatka posiada również 6 ścian.
Pierwsza siatka jest najpopularniejszą siatką sześcianu. Po złożeniu daje ona sześcian.
Druga siatka również po odpowiednim złożeniu i sklejeniu da nam sześcian.
Trzecia siatka tak jak poprzednie po złożeniu daje sześcian.
Czwarta siatka nie da nam sześcianu, ponieważ gdybyśmy próbowali złożyć z tej siatki sześcian to jej ściany nakładałyby się na siebie, co nie dałoby nam planowanego efektu.

Odp. Czwarta siatka (ostatnia) po odpowiednim złożeniu i sklejeniu nie da nam sześcianu.

ZADANIE 2
Oblicz długość przekątnej sześcianu, którego długość krawędzi wynosi 10 m. Otrzymany wynik zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.

Wskazówka: Istnieje wzór, dzięki, któremu możemy obliczyć długość przekątnej sześcianu, jeżeli znamy tylko długość krawędzi tej bryły. W otrzymanym wyniku nie może wystąpić pierwiastek.

Odp. Długość przekątnej sześcianu o krawędzi 10 m wynosi ok. .

ZADANIE 3
Oblicz sumę długości krawędzi pięciu sześcianów. Długość krawędzi każdego sześcianu jest równa 2 cm.

Wskazówka: Do rozwiązania tego zadania trzeba przekształcić wzór na sumę długości krawędzi w jednym sześcianie. Mamy 5 sześcianów, czyli sumę długości krawędzi w jednym sześcianie należy pomnożyć przez 5.

|x5

Odp. Suma długości krawędzi w pięciu sześcianach o długości krawędzi 2 cm w każdym jest równa 120 cm.

ZADANIE 4
Oblicz objętość sześcianu, którego długość krawędzi wynosi 5 cm.

Wskazówka: Do rozwiązania tego zadania należy znać wzór na objętość dowolnego sześcianu. Trzeba także pamiętać o jednostkach jakie występują w przypadku objętości.

Odp. Objętość sześcianu o długości krawędzi 5 cm wynosi .

ZADANIE 5
Oblicz pole powierzchni całkowitej sześcianu, którego długość krawędzi wynosi 7 cm.

Wskazówka: Do wykonania tego zadania trzeba przypomnieć sobie wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu. Znając wzór wystarczy dane podstawić do wzoru. Trzeba także pamiętać o jednostkach jakie występują w przypadku pola powierzchni całkowitej dowolnego sześcianu.

Odp. Pole powierzchni całkowitej sześcianu o długości krawędzi wynoszącej 7 cm wynosi .

ZADANIE 6
Oblicz objętość sześcianu ściętego o długości krawędzi wynoszącej 5 cm. Wynik zaokrąglij do całości.

Wskazówka: W tym zadaniu należy skorzystać z wzoru na objętość sześcianu ściętego i podstawić dane do wzoru. Pamiętajmy też o zaokrągleniu ostatecznego wyniku do całości. Należy również pamiętać, że przy objętości stosujemy .

Odp. Objętość sześcianu ściętego o długości krawędzi wynoszącej 5 cm wynosi .