Sześcian sumy

Sześcian sumy

Jednym z powszechnie używanych w matematyce wzorów skróconego mnożenia jest sześcian sumy, który możemy przedstawić wzorem:

Podnosząc do 3 potęgi sumę dwóch liczb, podnosimy najpierw pierwszą z nich do potęgi trzeciej (a3), następnie dodajemy potrojony iloczyn kwadratu pierwszej z nich pomnożony przez drugą liczbę (3a2b), potrojony iloczyn pierwszej z nich przemnożony przez kwadrat drugiej (3ab2), a na koniec podnosimy drugą z nich do 3 potęgi (b3).

Spójrzmy skąd wziął się każdy ze składników naszej sumy:

)

Poćwiczmy teraz obliczanie kwadratu sumy na konkretnych przykładach:

Zad. 1
Oblicz:
1)
2)
3)
4)
5)

Zad. 2
Zapisz w jak najprostszej postaci:
1)
2)
3)
4)
5)

Zad. 3
Wykaż, że liczba jest liczbą całkowitą.

Zad. 4
Wykaż, że jeśli a i b są liczbami rzeczywistymi takimi, że , to .

Odpowiedzi:
Zad. 1
1)
2)
3)
4)
5)

Zad. 2
1)
2)
3)
4)
5)

Zad. 3
Oznaczmy liczbę 2023 jako x.
2023= x
2022= x-1
2024= x+1
A więc, stosując wzory skróconego mnożenia do potęgi drugiej, a następnie do potęgi 3:

Liczba 2023 jest liczbą całkowitą, a więc nasz warunek jest spełniony.
ckd.

Zad. 4
Wiedząc, że zapiszmy, że , a więc:

ckd.