Tabela trygonometryczna

Sinus:
Powyżej jest trójkąt prostokątny. Sinus α. Jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta α, czyli „c” do długości przeciwprostokątnej „b”.
sin α =

Cosinus:
Jest to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie „α”, czyli długości „a” do długości przeciwprostokątnej „b”.
cos α =

Tangens:
Jest to stosunek długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli długości „c”, do długości przyprostokątnej, leżącej przy kącie „α”, czyli długości „a”
tan α =

Cotangens:
Jest to stosunek przyprostokątnej, leżącej obok kąta „α”, czyli długości „a”, do długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli długości „c”.
cot α = .

Tabela trygonometryczna:
Tabela przedstawiona poniżej, zawiera informacje o wartościach funkcji trygonometrycznych dla konkretnych ustalonych kątów, o miarach 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 180° funkcje trygonometryczne, to takie, jak sinus, cosinus, tangens, cotangens. Tabela trygonometryczna umożliwia nam odczytanie wartości funkcji trygonometrycznej dla wszystkich kątów. Tablice trygonometryczne, przed wynalezieniem kalkulatorów kieszonkowych, były wykorzystywane do nawigacji, nauki oraz inżynierii. Znak „-” w tabeli oznacza, że wartość funkcji trygonometrycznej nie istnieje.

Teraz przejdę do zadań do których potrzebna będzie tabela trygonometryczna.

Zadanie 1 – korzystanie z funkcji trygonometrycznych i twierdzenia Pitagorasa

Na rysunku powyżej znajduje się trójkąt DEF. Odcinek DF jest równy 8. Kąt DEF jest kątem prostym, a kąt EFD ma miarę 30°. Oblicz na dwa sposoby (wyłącznie za pomocą znajomości zależności długości boków w trójkącie charakterystycznym (o kątach 90°, 30° oraz 60°), która wynika z twierdzenia Pitagorasa, oraz za pomocą tabeli trygonometrycznej) kąt EDF i długości pozostałych boków.

Zadanie 2:
Samolot startował pod kątem 60°. Na jakiej znalazł się wysokości, jeżeli pokonał drogę 100km? Uwaga. Wiadomo, że samolot podczas pokonywania tej drogi, nie zmieniał kierunku lotu.

Zadanie 3:
Sinus kąta α jest kątem ostrym. Gdy cosinus α jest równy , to ile stopni wynosi sinus kąta α?

Zadanie 4: – korzystanie z wzoru na pole równoległoboku.
Obwód równoległoboku jest równy 38cm. Jeden z boków tego równoległoboku na długość 12cm. Sinus kąta „α” wynosi 30°. Oblicz Pole równoległoboku.

Zadanie 5: – korzystanie z wzoru na pole równoległoboku.
Przekątne równoległoboku mają długości 6 cm i 8 cm. Kąt przecięcia przekątnych jest równy . Ile wynosi Pole tego równoległoboku?

Zadanie 6:
Ile wynosi kątα, jeżeli tan α wynosi 0,12 ?

Zadanie 7:
Ile wynosi kąt α, jeżeli sin α wynosi 0,4999 ?

Zadanie 8: – zadanie z wykorzystywaniem wzoru na pole trójkąta.
Podstawa trójkąta prostokątnego jest równa 9cm, znajduje się ona przy kącie równym 73° oraz przy kącie prostym. Oblicz pole tego trójkąta oraz długość jego przeciwprostokątnej.

Odpowiedź 1:
Najpierw obliczę zadanie, korzystając wyłącznie trójkąt charakterystyczny, który wynika z twierdzenia Pitagorasa. Na początku obliczę miarę kąta EDF. Wiem, że suma miar kątów w każdym trójkącie jest równa 180 stopni. Więc, 180°-90°-30°=60°. Kąt EDF jest równy 60°. Teraz obliczę długości innych boków, wykorzystując informację, że Odcinek DF ma długość 8. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że w trójkącie o kątach 90°, 30° oraz 60°, odcinek pomiędzy kątem 60°, a kątem prostym jest równy „a”, odcinek między kątem prostym, a kątem 30° jest równy „a„, a odcinek między kątem 60°, a 30° jest równy „2a”. Więc, jeżeli 2a (odcinek DF) jest równe 8, to a będzie równe 4 (odcinek DE), po prostu podzieliłam wartość 8 na dwa. Kiedy a jest równe 4, to wartość a musi być równa 4 (by uzyskać ten wynik pomnożyłam wartość 4 razy ). Teraz rozwiążę to zadanie drugim sposobem, wykorzystując do tego tabelę trygonometryczną. Jak już obliczyłam wcześniej, kąt EDF będzie równy 60°. Wykorzystam, by obliczyć długości boku funkcję sinus kąta 30°.
sin 30° = =
DE = 8 * (sin 30°)
DE = 8 * = 4
Odcinek DE jest równy 4. Teraz obliczę odcinek EF z funkcji cotangens kąta 30°.
cot 30° = =
EF = 4 * (cot 30°)
EF = 4 * =
W obu sposobach odpowiedzi są takie same, co oznacza, że zadanie, zostało wykonane poprawnie.

Odpowiedź 2:
By obliczyć te zadanie wykorzystam funkcję sinus kąta 60°. By uprościć rozwiązanie tego zadania, zobrazuję jego treść.

x – wysokość, którą mamy obliczyć.
sin 60° =
x = 100 km * (sin 60°)
x = 100 km * = 50 km.
Można obliczyć to zadanie, wykorzystując do niego trójkąt charakterystyczny, wynikający z twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że w trójkącie charakterystycznym o kątach 90°, 60°, oraz 30°, odcinek pomiędzy kątem 60°, a kątem prostym jest równy „a”, odcinek między kątem prostym, a kątem 30° jest równy „a„, a odcinek między kątem 60°, a 30° jest równy „2a”. Więc w tym przypadku, kiedy „2a” jest równe 100 km, „a” będzie równe 50 km (wartość 100 km podzieliłam przez 2), oraz kiedy „a” jest równe 50 km, to w takim razie „a” będzie równe 50 km. Czyli wysokość będzie równa 50 km, wynik zadania jest taki sam, jak rozwiązywałam to zadanie wykorzystując tabelę trygonometryczną, więc rozwiązanie zarania jest poprawne.

Odpowiedź 3:
By uprościć rozwiązanie tego zadania, najpierw zobrazuję jego treść. Rysunek powstaje na podstawie danych, że cosinus kąta α jest równy , wiedząc, że funkcja sinus, to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie „α”, do długości przeciwprostokątnej, tworzymy ten rysunek.

Musimy pamiętać, że sinus kąta α, to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta „α”, do długości przeciwprostokątnej.
Sin α = . Teraz trzeba wyliczyć „x”. Można to zadanie wykonać używając różnych metod, ja zaprezentuję tę najprostszą. Zacznę od , wykorzystania twierdzenia Pitagorasa. Wzór: a2+b2=c2 Co oznaczają litery „a”, „b” i „c” ? Więc, „a” oraz „b” oznaczają długości przyprostokątnych, leżących w trójkącie prostokątnym. A litera „c” oznacza długość przeciwprostokątnej. By obliczyć wartość jednej z długości przyprostokątnych, muszę najpierw przekształcić wzór. c2-a2=b2. Teraz podstawiam otrzymane długości do wzoru. 322-22=b2
1024-4=1020
= około 31,9=x
Podstawiam do pierwszego równania Sin α = . W ten sposób otrzymuję Sin α = około , ten ułamek jest równy dokładnie 0,996875.

Odpowiedź 4:
By uprościć rozwiązanie tego zadania, najpierw zobrazuję jego treść.

Wzór, który wykorzystam, by obliczyć pole równoległoboku, to P=e*f*sin α. Załóżmy, że „f” jest równe 12cm. Obliczmy teraz bak „e” wykorzystując do tego informację, że obwód całego równoległoboku jest równy 38cm. Wzór na obwód równoległoboku, to Obw.=2e*2f. W takim razie obliczmy, ile wynoszą razem dwa boki „f”. 12cm*2=24cm Wystarczyło wartość 12cm pomnożyć razy dwa. Następnie trzeba objąć tę wartość (24 cm) od wartości całego pola równoległoboku. 38cm-24cm=14cm. Długość (14 cm) to długości dwóch boków „e”. By obliczyć ile wynosi długość boku „e” musimy wartość 14cm podzielić na dwa. 14cm_2=7cm. Długość „e” jest równa 7 cm. Następnie odczytuje wartość z tabeli trygonometrycznej dla sinus kąta α, równego 30°. Teraz podstawiam wartości do wzoru podanego powyżej. P=12cm*7cm* = 42cm2 Więc, pole równoległoboku jest równe 42cm2.

Odpowiedź 5:
By uprościć rozwiązanie tego zadania, najpierw zobrazuję jego treść.

Wzór na Pole równoległoboku to połowa iloczynu długości przekątnych tego równoległoboku, sinusa kąta „α”. Najpierw musimy się dowiedzeń, ile stopni odpowiada wartości . Wiemy, że π jest równe 180°. Więc będzie sześć razy mniejsze. 180°:6=30°. Możemy odczytać to też z tabeli trygonometrycznej. Wartość funkcji sinus kąta „α” dla 30 stopni wynosi . Więc, Otrzymane wartości, wystarczy podstawić do wzoru na pole równoległoboku. P=8cm * 6cm * * = *48cm2=12cm2 Pole równoległoboku wynosi 12 cm2.

Odpowiedź 6:
By wiedzieć, ile wynosi tangens kątaα, musimy skorzystać z części tabeli trygonometrycznej podanej na końcu wypracowania. Po prostu odczytujemy wartość z tabeli. A fragment tej tabelki przedstawię poniżej. Najpierw znajdujemy kolumnę o nazwie „Tan α”, a następnie odnajdujemy wartość przybliżoną do wartości 0,12, jest to wartość w tym przypadku 0,1228. Teraz w tym samym wierszu w kolumnie „α” odczytujemy wartość 7°. Wartość 0,1228 była przybliżona do wartości 0,12, więc w odpowiedzi nie możemy napisać że jest to po prostu 7°, musimy zapisać, że jest to wartość przybliżona do 7°.

Odpowiedź 7:
By wiedzieć, ile wynosi sinus kąta α, musimy skorzystać z tabeli trygonometrycznej podanej w innym, sprawdzonym źródle, na przykład wiarygodnej stronie internetowej. Po prostu odczytujemy wartość z tamtej tabeli. A fragment takiej tabelki przedstawię poniżej. Najpierw znajdujemy kolumnę o nazwie „Sin α”, a następnie odnajdujemy wartość przybliżoną do wartości 0,4999, jest to wartość w tym przypadku 0,5. Teraz w tym samym wierszu w kolumnie „α” odczytujemy wartość 30°. Wartość 0,5 była przybliżona do wartości 0,4999, więc w odpowiedzi nie możemy napisać że jest to po prostu 30°, musimy zapisać, że jest to wartość przybliżona do 30°.

Odpowiedź 8:
By uprościć rozwiązanie tego zadania, najpierw zobrazuję jego treść.

Wierzchołki trójkąta prostokątnego nazwałam A, B oraz C. Kąt ABC jest równy 73°, kąt BCA jest równy 90°. Tak, jak podano w treści zadania, podstawa tego trójkąta ma długość 9 cm i jest ona położona obok kąta prostego i kąta 73°, możemy tę podstawę oznaczyć też, jako odcinek BC. Nie mamy podane w treści zadania ile wynosi trzeci kąt w tym trójkącie. Na początku obliczę miarę trzeciego kąta w tym trójkącie, wykorzystując informację, że suma miar wszystkich kątów w każdym trójkącie zawsze jest równa 180°. Więc, 180° – 90° – 73° = 17°. W takim razie miara kąta BAC jest równa 17°. Teraz do obliczenia pola tego trójkąta potrzebujemy tylko wysokości, wysokość tego trójkąta to w tym przypadku odcinek AC. Załóżmy, że kątem „α” w tym przypadku jest kąt BAC, który jest równy 17°. By obliczyć wysokość tego trójkąta, wykorzystam do tego funkcję tangens. Funkcję tangens wykorzystujemy wtedy, kiedy mówimy o stosunku długości przyprostokątnej, leżącej naprzeciwko kąta „α”, czyli w tym przypadku długości odcinka BC o długości 9cm, do długości przyprostokątnej, leżącej przy kącie „α”, czyli w tym przypadku długości odcinka AC. Tangens kąta 17° jest w przybliżeniu równy 0,3057 (można to odczytać z części tabeli, która znajduje się na końcu tego wypracowania). Obliczam długość odcinka AC, podstawiając odpowiednie wartości do równania.
Tan α = =

AC = = = około 29,4cm (wynik zaokrąglony w dół).
Teraz, skorzystam ze wzoru na pole trójkąta:
Teraz podstawiam obliczone wartości w odpowiednie miejsca. „a” w tym wzorze, oznacza długość podstawy tego trójkąta, czyli w tym przypadku długość odcinka BC, który wynosi 9cm, a za „h” w tym wzorze należy podstawić przed chwilą obliczoną wartość 29,4cm. W takim razie, podstawiam wartości do wzoru.
= 132,3 cm2.
Teraz, zostaje mi tylko obliczyć długość przeciwprostokątnej, czyli długości odcinka AB w tym trójkącie. By to zrobić, skorzystam z funkcji cosinus kąta „α”. Funkcję cosinus stosujemy wtedy, kiedy mówimy o stosunku długości przyprostokątnej, leżącej przy kącie „α”, czyli długości odcinka AC, do długości przeciwprostokątnej w tym trójkącie, czyli długości odcinka AB. Tym razem, tak samo jak poprzednio, przyjmujemy, że kąt α, czyli kąt BAC jest równy 17°. Cos kąta α w tym przypadku wynosi W takim razie, podstawiam wartości do wzoru.
Cos α = =

AB = około =około = około 30,7 (wynik zaokrąglony w dół).

W tabeli powyżej przedstawiłam tabelę trygonometryczną dla wybranych kątów o miarach 0°; 30°; 45°; 60°; 90°; 180°, funkcje sinus, cosinus, tangens, cotangens o miarach kątów przedstawionych powyżej najczęściej spotykamy w zadaniach. Poniżej przedstawię 7 miar wybranych przeze mnie kątków w tabeli trygonometrycznej – są to kąty ostre. Wartość funkcji trygonometrycznej dla tych kątów można przedstawić w przystępny sposób 😉

Istnieją również tabele, które zawierają przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wszystkich kątów. Pierwsze przykłady przedstawię poniżej (od 1° do 21°) :