Tabliczka mnożenia

Powyższej tabelki (tak zwanej „do dziesięciu”) należy nauczyć się na pamięć, ponieważ działania te są bardzo często używane. 
Najczęściej można spotkać takie właśnie tabliczki mnożenia, w których występuje dziesięć liczb naturalnych w kolumnie oraz dziesięć liczb naturalnych w wierszu, a pomnożone na krzyż dają wynik nie przekraczający stu. Istnieją równiez tabliczki „do stu”, w których występują czynniki do stu, a wynik nie przekracza tysiąca.

Historia tabliczki mnożenia 

Tabliczka mnożenia nazywana jest również tabliczką Pitagorasa (tak nazywana jest na przykład w Rosji), ponieważ to właśnie tego greckiego uczonego uważa się za jej wynalazcę. Za najstarszą tabliczkę mnożenia uznaje się tę znalezioną w Chinach, która wcześniej fragmentaryczna (licząca ponad dwa tysiące bambusowych kawałków), teraz zebrana przez naukowców liczy sobie około dwa tysiące trzysta lat i zapisana była na kawałkach bambusa. Szacuje się, że powstała około 300 roku przed naszą erą. Ta właśnie tabliczka nosi miano „najstarszej tabliczki na świecie”. 
Dzięki niej można wykonywać nie tylko działania na liczbach całkowitych, ale również w zakresie od 0,5 do 99,5.

Światowy Dzień Tabliczki Mnożenia 

Czwartego października każdego roku obchodzony jest Światowy Dzień Tabliczki Mnożenia, podczas którego na całym świecie odbywają się różne zabawy i konkursy z nią związane, a dzieci mają możliwość przygotowania dotyczących tego tematu plakatów. Co więcej niektórzy nawet tydzień wcześniej powtarzają tabliczkę mnożenia. Również w polskich szkołach uczniowie co roku mogą wziąć udział w konkursie polegającym na rozwiązaniu kilku przykładów, a jeśli uda im się zaliczyć ten mały test, wówczas otrzymują tytuł Eksperta Tabliczki Mnożenia. 

Jak nauczyć się tabliczki mnożenia? Kilka prostych wskazówek. 

1. Pamiętaj, że wynikiem każdego działania, w którym pomnożysz daną cyfrę razy jeden, będzie ta właśnie cyfra. 

2. Jeżeli daną cyfrę pomnożysz razy zero, wówczas wynikiem będzie zero. 

3. Nie bój się używać przykładów z życia, aby zrozumieć matematykę! Jeśli nie rozumiesz mnożenia, pomyśl na przykład: ile jabłek zmieści się w danej liczbie koszyków (liczba jabłek będzie jedną liczbą, natomiast liczba koszyków drugą). Zatem jeśli mamy trzy koszyki, a w każdym po trzy jabłka, działanie będzie wyglądało następująco: 3*3=9. Czyli we wszystkich koszykach mamy łącznie dziewięć jabłek.

4. Powtarzaj tabliczkę mnożenia, tak aby zapamiętać najważniejsze działania: szczególnie przywiąż uwagę do tabliczki „do dziesięciu”, a szczególnie:

a także do działań:

Dzięki ich znajomości będziesz mógł/mogła szybciej rozwiązywać niektóre zadania, a także przyda ci się ta wiedza, gdy będziesz rozwiązywać zadania z pierwiastkami (Znając tabliczkę mnożenia będziesz mógł/mogła bez problemu rozwiązać zadanie, w którym zauważysz na przykład pierwiastek z 289, czyli , który jest równy siedemnaście, ponieważ to właśnie 289).

5. Możesz uczyć się tabliczki mnożenia poprzez przygotowanie fiszek: na jednej stronie kartonika lub kartki napisz działanie, a na drugiej odpowiedź. Możesz również skorzystać ze stron internetowych, które oferują różnego rodzaju gry i zabawy, poprzez które łatwiej przyswoisz tę wiedzę. 

6. Warto również wiedzieć, że istnieje metoda, dzięki której szybko obliczysz działania, w których mnożysz daną cyfrę razy dziewięć. Jeśli nie pamiętasz jakie wyniki dają cyfry pomnożone razy dziewięć możesz użyć swoich palców. Wystarczy, że spojrzysz na swoje dłonie i zagniesz palec, który odpowiada liczbie, którą mnożysz razy dziewięć. Na przykład, jeśli chcesz pomnożyć dziewięć razy pięć ( ), zagniesz piąty palec u lewej ręki (jest to mały palec). Wówczas patrząc od lewej strony: przy lewej ręce pozostaną cztery niezagięte palce, co odpowiada cyfrze dziesiątek naszego wyniku, natomiast przy prawej dłoni pięć palców pozostanie wyprostowanych, co z kolei odpowiada cyfrze jedności wyniku. Wynik zatem wynosi czterdzieści pięć: . 

7. Tabliczkę mnożenia możesz również przyswoić za pomocą krótkich rymowanek: 

“Zabawa w najlepsze trwa, bo sześć razy siedem to czterdzieści dwa”, czyli  
“Jak mawiał mój teść: osiem razy siedem to pięćdziesiąt sześć”, czyli
 “Nie bądź chłopie wiecznie łosiem, pamiętaj, że sześć razy osiem to czterdzieści osiem”, czyli  
“Lubię sobie dobrze zjeść, a sześć razy sześć to trzydzieści sześć”, czyli  
“Niebywałe mam maniery, bo osiem razy osiem to sześćdziesiąt cztery”, czyli  
“Mam dla ciebie dobre wieści: pięć razy osiem wynosi czterdzieści”, czyli
“Uważam, że mój ogród to Eden, a trzy razy siedem to dwadzieścia jeden”, czyli
“Mam w domu lwa, a osiem razy cztery to trzydzieści dwa”, czyli

Możesz również wymyślić własne rymowanki, dzięki czemu już podczas ich wymyślania zaczniesz uczyć się tabliczki mnożenia.

8. Jeśli jakąś liczbę mnożymy razy dziesięć, wówczas do tej liczby wystarczy dodać zero, na przykład 2*10=20. Gdy mnożymy razy sto, dodajemy dwa zera, na przykład 2*100=200, razy tysiąc dodajemy trzy, na przykład 2*1000=2000, i tak dalej.

9. Pamiętaj, że żadna metoda nie jest zła, jeśli tylko przynosi efekty, dlatego oprócz podanych tutaj metod możesz wprowadzać w życie własne. Jeśli jesteś tak zwanym wzrokowcem sprawdzą się u ciebie fiszki, ale jeśli jesteś słuchowcem, nie wahaj się powtarzać tych działań na głos lub na głos czytać rymowanek.

Dodatkowe informacje

Kiedy gdzieś znajduje się następujący zapis: (a+b)(a+c) oznacza to, że należy pomnożyć razy siebie to, co znajduje się w obydwu nawiasach, ponieważ między nimi widnieje niewidzialny znak mnożenia, czyli: (a+b)*(a+c).
Ta informacja dotyczy również zapisu: ab, gdzie znak mnożenia znajduje się między liczbami: a i b oraz a(b+c), gdzie niewidzialny znak mnożenia znajduje się między liczbą a, a nawiasem: a*(b+c). Dlatego zapamiętaj, że jeśli między liczbami nie stoi żaden znak, należy wówczas wykonać mnożenie.

Kolejną ważną informacją jest fakt, że kiedy pomnożysz liczbę dodatnią razy liczbę dodatnią, wynik również będzie dodatni, na przykład 2*3=6. Kiedy jednak pomnożysz liczbę ujemną razy dodatnią, wówczas wynik będzie ujemny, na przykład 2*(-3)=-6. Kiedy natomiast pomnożysz liczbę ujemną razy liczbę ujemną, wynik będzie dodatni, na przykład -2*(-3)=6.

Mnożenie jest przemienne, co oznacza, że nieważne czy pomnożysz 2*6, czy też odwrotnie, 6*2, wynikiem zawsze będzie dwanaście.

Warto również wiedzieć, że jeśli mamy następującą sytuację: , jest to równoznaczne z * i w obu przypadkach wynikiem będzie . Inaczej byłoby, gdybyśmy mieli do czynienia, nie z mnożeniem a dodawaniem lub odejmowaniem. Wtedy nie wolno rozdzielać jednego pierwiastka na dwa (lub odwrotnie – dwóch pierwiastków łączyć w jeden).

Przydatną informacją jest również to, że kiedy rozwiązujemy nierówność, na przykład i podzielimy obustronnie przez -2, wówczas znak zmieni się w . Nierówność ta będzie zatem wyglądać następująco:

/:(-2)

Dzieje się tak zawsze gdy rozwiązując nierówność mnożymy przez liczbę ujemną (liczbę z minusem). Gdy jednak pomnożymy obustronnie przez liczbę dodatnią, znak pozostanie bez zmian.

Przydatna jest jeszcze jedna zależność. Jeśli rozwiązujesz działanie: 3*2=6, powinieneś wiedzieć, że jeśli sześć podzielisz na dwa wynikiem będzie trzy, a jeśli sześć podzielisz na trzy, wynikiem będzie dwa. Oznacza to, że działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie.

Podczas rozwiązywania równań przyda ci się informacja dotycząca tego w jaki sposób należy postępować z mnożeniem i dzieleniem. Jeśli w równaniu występuje mnożenie, na przykład: , wówczas, aby pozbyć się liczby stojącej przy należy wykonać działanie przeciwne, czyli dzielenie. Dlatego właśnie całość dzielimy obustronnie przez 2, a wynikiem jest: . Jeśli natomiast w równaniu występuje dzielenie, na przykład: , wtedy obustronnie mnożymy razy liczbę w mianowniku ułamka, czyli razy 6. Wtedy działanie rozwiązujemy tak:

Mnożenie jest również wykorzystywane w potęgowaniu. Na przykład 23 to czyli 8.

Częste błędy w obliczeniach powoduje sytuacja, w której przed nawiasem pojawia się minus, na przykład: . Ten minus należy po prostu potraktować jako i przypomnieć sobie, że jeśli między liczbami nie ma żadnego znaku, wtedy te liczby razy siebie mnożymy. Mnożenie spowoduje zmianę znaku w nawiasie, to znaczy: . Innym przykładem jest sytuacja, w której w nawiasie występuje minus, wtedy:

W sytuacji, w której mamy do czynienia z pierwiastkiem, a pod nim występuje mnożenie tych samych liczb, czyli na przykład: , wtedy wynikiem będzie po prostu . Tak samo będzie, gdy mnożenie takich samych liczb występuje pod pierwiastkiem sześciennym, z tą jedynie różnicą, że pod pierwiastkiem powinny znajdować się nie dwie, a trzy takie same liczby.

Wzory pomocne przy wykonywaniu mnożenia 

W wykonywaniu działań, w których występuje mnożenie mogą pomóc ci następujące wzory. Dotyczą one również potęgowania, aczkolwiek do ich użycia potrzebna ci będzie umiejętność mnożenia. Jeśli jesteś w szkole średniej pamiętaj, że podanie niżej wzory znajdziesz w tablicach matematycznych, których możesz używać podczas egzaminu maturalnego z matematyki.

ax*ay = ax+y (przy mnożeniu takich samych liczb, które mają różne wykładniki potęgi, jest to równoznaczne z dodaniem do siebie tych wykładników i pozostawieniu powtarzającej się podstawy potęgi, na przykład: ).

(ax)y = ax*y (gdy jakaś liczba jest spotęgowana, a następnie znowu spotęgowana, wówczas można pozostawić podstawę potęgi i pomnożyć razy siebie wykładniki potęgi, na przykład: ).

(a*b)x = ax*bx (jeśli mnożymy przez siebie dwie różne liczby o takich samych wykładnikach potęg, wtedy możemy zapisać je w nawiasie pod jedną potęgą, na przykład: ).

Trzeba pamiętać, że powyższe wzory można zastosować tylko wtedy, gdy mamy do czynienia z mnożeniem. Jeśli pomiędzy liczbami występuje dodawanie lub odejmowanie, wzorów tych się nie stosuje.

Wzory skróconego mnożenia 

Tak zwane wzory skróconego mnożenia służą do szybszego i sprawniejszego obliczania zadań, w których występuje mnożenie. Wzory skróconego mnożenia, podobnie jak podane wyżej wzory działań na potęgach znajdują się w tablicach matematycznych, z których możesz korzystać na maturze. Wyróżniamy następujące wzory:

Kwadrat sumy (czyli suma dwóch liczb – dodawanie – do potęgi drugiej): (a+b)2 = a2 +2ab+b2
Zapis szczegółowy: 

(a+b)2 = (a+b)(a+b) = a2+ab+ba+b2 = a2+2ab+b2

Kwadrat różnicy (czyli różnica dwóch liczb – odejmowanie – do potęgi drugiej): (a-b)2 = a2-2ab+b2
Zapis szczegółowy:

(a-b)2 = (a-b)(a-b) = a2-ab-ba+b2 = a2-2ab+b2

Różnica kwadratów: (czyli mnożenie nawiasów z przeciwnymi znakami)
(a+b)(a-b) = a2-b2
Zapis szczegółowy:

(a+b)(a-b) = a2-ab+ab-b2 = a2-b2

Różnica sześcianów: (czyli odejmowanie od siebie dwóch liczb, z czego każda podniesiona jest do potęgi trzeciej) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)
Zapis szczegółowy:

(a-b)(a2+ab+b2) = a3+ba2+ab2-ba2-ab2-b3 = a3-b3

Suma sześcianów: (czyli dodawanie do siebie dwóch liczb, z czego każda podniesiona jest do potęgi trzeciej) a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2)
Zapis szczegółowy:

(a+b)(a2-ab+b2) = a3-ba2+ab2+ba2-ab2+b3 = a3-b3

Sześcian sumy: (suma dwóch liczb – dodawanie – podniesiona do potęgi trzeciej) (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Zapis szczegółowy:

(a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ab+ba+b2)(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3

Sześcian różnicy: (różnica dwóch liczb – odejmowanie – podniesiona do potęgi trzeciej) ((a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
Zapis szczegółowy:

(a-b)3 = (a-b)(a-b)(a-b) = (a2-ab-ba+b2)(a-b) = a3-3a2b+3ab2-b3

Mnożenie a kolejność wykonywania działań 

Kolejność wykonywania działań jest następująca: najpierw zawsze rozwiązuje się działania, które są w nawiasach (oczywiście jeśli jest to możliwe), następnie pierwszeństwo ma potęgowanie oraz pierwiastkowanie (są to działania przeciwne), później mnożenie oraz dzielenie (które również są działaniami przeciwnymi), a na końcu dodawanie i odejmowanie (są działaniami przeciwnymi). 

Nawiasy: (, ), [, ], {, }
Pierwiastkowanie i potęgowanie: xy,
Mnożenie i dzielenie: *, /
Dodawanie i odejmowanie: +, –

Mnożenie pisemne

Mnożenie pisemne to metoda mnożenia bez kalkulatora dzięki której można obliczyć dowolne działanie, w którym występuje mnożenie. Aby użyć tej metody musisz znać jedynie tabliczkę mnożenia w zakresie dziesięciu.

Mnożenie pisemne polega na zapisaniu dwóch (lub więcej) mnożonych liczb jedna pod drugą, a następnie na pomnożeniu każdej cyfry przez każdą cyfrę (poczynając od końca) i przepisaniu wyników pod kreską. Następie wyniki dodaje się w słupku i zapisuje końcowy wynik.

Przykład mnożenia pisemnego:

Pisemnie można również dodawać, odejmować oraz dzielić.

Przykłady zadań z wykorzystaniem znajomości tabliczki mnożenia wraz z rozwiązaniami

Zadanie pierwsze: W sklepie znajduje się sześć koszyków z gruszkami. W każdym koszyku znajduje się dwanaście gruszek. Wykonaj obliczenia, dzięki którym ustalisz ile gruszek jest w tym sklepie.

Rozwiązanie: Mamy sześć koszyków, a w każdym znajduje się dwanaście gruszek, zatem mnożymy liczbę koszyków razy liczbę gruszek: 6*12=72. Odpowiedź: W tym sklepie znajdują się siedemdziesiąt dwie gruszki.

Zadanie drugie: Katarzyna kupiła trzy paczki cukierków. Znajdowały się w nich cukierki o różnym smaku: w pierwszej znajdowało się sześć cukierków o smaku orzechowym, cztery o smaku truskawkowym oraz sześć o smaku jagodowym, a w drugiej paczce było pięć cukierków o smaku orzechowym, sześć o smaku truskawkowym oraz cztery o smaku jagodowym. Ile cukierków kupiła Katarzyna?

Rozwiązanie:
Dane:
torebka pierwsza: 6 cukierków orzechowych, 4 truskawkowe, 6 jagodowych
torebka druga: 5 orzechowych, 6 truskawkowych, 4 jagodowe

Rozwiązujemy następujące działanie: 6*3+2*4+5 = 18+8+5 = 31
Odpowiedź: Katarzyna kupiła trzydzieści jeden cukierków.

Zadanie trzecie: Aneta zważyła swój plecak, w którym nosi do szkoły książki wraz z zawartością i okazało się że waży osiem kilogramów. Następnie sama stanęła na wadze i okazało się, że waży siedem razy więcej. Ile waży Aneta?

Rozwiązanie: Skoro Aneta waży siedem razy więcej niż jej plecak, należy wykonać działanie: 8*7=56 kg. Odpowiedź: Aneta waży pięćdziesiąt sześć kilogramów.

Zadanie czwarte: Mikołaj i Sławek postanowili policzyć ile książek przeczytali w tym roku. Okazało się, że Mikołaj przeczytał dwa razy więcej książek niż Sławek. Jeśli Sławkowi udało się przeczytać trzydzieści dwie książki, to ile książek przeczytał Mikołaj?

Rozwiązanie: Wykonujemy działanie: 2*32 = 64. Odpowiedź: Mikołaj przeczytał sześćdziesiąt cztery książki.

Zadanie piąte: Kajetan postanowił policzyć ile ma pająków. W jego pokoju znajdowało się pięć słoików, w każdym po dwa pająki. Kiedy jednak je liczył okazało się jednak, że jeden z pająków uciekł. Ile zatem pająków miał Kajetan?

Rozwiązanie: Mamy pięć słoików, przy czym tylko w czterech znajdują się po dwa pająki, a w jednym pozostał jeden pająk. Wykonujemy zatem działanie: 4*2+1 = 9. Odpowiedź: Kajetan ma teraz dziewięć pająków.

Zadanie szóste: rozwiąż podane poniżej działania:

2 = 2







Zadanie siódme: W kwiaciarni znajduje się piętnaście wazonów z różami. W pięciu z nich znajdują się róże koloru żółtego, a na jeden wazon przypada pięć róż, w kolejnych pięciu znajdują się róże czerwone, a w jednym wazonie jest ich trzy. W kolejnych pięciu wazonach znajdują się róże białe i jest ich po 2 w każdym wazonie. Ile róż znajduje się łącznie w tej kwiaciarni?

Rozwiązanie:

Dane:
liczba róż żółtych – 5 sztuk w każdym z pięciu wazonów
liczba róż czerwonych – 3 sztuki w każdym z pięciu wazonów
liczba róż białych – 2 sztuki w każdym z pięciu wazonów

Wynokujemy obliczenia:

Odpowiedź: w tej kwiaciarni znajduje się łącznie pięćdziesiąt róż.

Zadanie ósme: Janek postanowił wybrać się na zakupy. W sklepie zauważył, że na półce znajdują się dwa rodzaje twarogu, którego potrzebował do upieczenia sernika. Twaróg pierwszej firmy kosztował 4 złote i 50 groszy i ważył 200 gramów, natomiast twaróg drugiej firmy kosztował 6 złotych i 50 groszy i ważył 500 gramów. Twaróg której firmy powinien kupić Janek, żeby zapłacić jak najmniej, jeśli do upieczenia jednego sernika potrzebuje kilograma twarogu?

Rozwiązanie:

Dane:
twaróg 1 – 4 zł 50 gr za 200 gramów
twaróg 2 – 6 zł 50 gr za 500 gramów

Należy wykonać obliczenia:

ile zapłaci Janek za kilogram twarogu 1?

4,50 zł za 200 g
x za 1000 g

zł

ile zapłaci Janek za kilogram twarogu 2?

6,50 zł za 500 g
y za 1000 g

zł

Odpowiedź: Janek powinien kupić twaróg firmy drugiej, który kosztuje trzynaście złotych.

Zadanie dziewiąte: Urszula policzyła pieniądze w swojej skarbonce i okazało się, że miała pięć banknotów dziesięciozłotowych, dwa banknoty dwudziestozłotowe oraz jeden banknot pięćdziesięciozłotowy, a także szesnaście monet pięciozłotowych, trzynaście monet dwuzłotowych, piętnaście monet jednozłotowych oraz szesnaście monet pięćdziesięciogroszowych. Ile łącznie złotych miała Urszula w swojej skarbonce? Ile razy więcej musi zaoszczędzić Urszula, aby pieniędzy starczyło jej na nowy rower, który kosztuje 1345 złotych?

Rozwiązanie:

Dane:
5 banknotów po 10 złotych
2 banknoty po 20 złotych
1 banknot po 50 złotych
16 monet po 5 złotych
13 monet po 2 złote
15 monet po 1 złoty
16 monet po 50 groszy

Należy wykonać działanie:

Drugie działanie:

Odpowiedź: Urszula miała w swojej skarbonce dwieście sześćdziesiąt dziewięć złotych. Żeby kupić rower Urszula będzie musiała zaoszczędzić jeszcze pięć razy więcej.

Zadanie dziesiąte: W klasie czwartej b jest pięć razy więcej dziewczyn niż chłopców. Jeśli chłopców jest pięciu to ile jest w tej klasie dziewczyn? Ile wszystkich dzieci łącznie uczęszcza do tej klasy?

Rozwiązanie:
Należy wykonać następujące działanie: (liczba dziewczyn)
Znając liczbę chłopców i dziewczyn, liczymy ile łącznie jest uczniów w tej klasie:

Odpowiedź: W tej klasie jest 30 uczniów, w tym 25 dziewczyn.

Zadanie jedenaste: Mateusz rozwiązywał pracę domową z matematyki. Jedno z zadań polegało na rozwiązaniu działań. Mateusz popełnił w nim kilka błędów. Znajdź błędy i popraw je.

Zadanie Mateusza:

błąd: liczba 108 byłaby poprawnym wynikiem gdyby działanie wyglądało tak: . Poprawne rozwiązanie:

błąd: Mateusz zastosował niepoprawnie wzór skróconego mnożenia. Poprawny zapis to:

Mateusz wykonał ten przykład poprawnie.

Matusz wykonał ten przykład poprawnie.

Zadanie dwunaste: W wiejskiej szkole było pięć klas pierwszych, pięć klas drugich, sześć klas trzecich oraz jedna klasa czwarta. W każdej klasie było dziesięciu uczniów, oprócz klasy czwartej, w której było trzynastu uczniów. Ilu uczniów uczęszczało do szkoły wiejskiej?

Rozwiązanie:

Dane:
Klasy pierwsze: pięć klas po dziesięć uczniów
Klasy drugie: pięć klas po dziesięć uczniów
Klasy trzecie: sześć klas po dziesięć uczniów
Klasa czwarta: jedna klasa po trzynaście uczniów

Obliczenia:

Odpowiedź: Do tej szkoły uczęszczało stu siedemdziesięciu trzech uczniów.