Opracowanie:
Transformacja fouriera

Transformacja fouriera

Zweryfikowane

Transformacja Fouriera jest pewnym operatorem liniowym określanym na danych przestrzeniach funkcyjnych, których elementami mogą być funkcje zmiennych rzeczywistych. Ta transformacja opisuje rozkład funkcji w bazie ortonormalnej funkcji trygonometrycznych za pośrednictwem iloczynu skalarnego funkcji.

W transformacji Fouriera funkcja nazywana jest transformatą Fouriera. Nazwa wzięła się z nazwiska jej twórcy – Jeana Baptiste’a Josepha Fouriera.

Dla funkcji $fin L^{1}({mathbb {R}}^{n})$ , gdzie $L^{1}({mathbb {R}}^{n})$ to przestrzeń wektorowa funkcji całkowalnych na $mathbb{R}^n$ , transformatę Fouriera można określić wzorem:
${displaystyle {hat {f}}(xi )=int limits _{mathbb {R} ^{n}}f(x) e^{-2pi i(x,xi )},dx,}$
w którym jest jednostką urojoną ${displaystyle (i^{2}=-1),}$ a (x,xi ) – iloczynem skalarnym wektorów ${displaystyle x,xi in mathbb {R} ^{n}.}$ Ta transformacja czasem oznaczana jest jako a wtedy transformata wygląda tak:

(transformata) jest funkcją istotnie ograniczoną: ${hat {f}}in L^{infty }({mathbb {R}}^{n})$ , a wiemy to z pomocą twierdzenia Riemanna-Lebesgue’a.

Transformata jest całkowalna z kwadratem wtedy, gdy funkcja również jest całkowalna z kwadratem (oznacza to, że $fin L^{1}({mathbb {R}}^{n})cap L^{2}({mathbb {R}}^{n})$ ). Podsumowując, transformacja Fouriera jest odwzorowaniem przestrzeni: ${displaystyle {mathcal {F}}:L^{1}(mathbb {R} ^{n})cap L^{2}(mathbb {R} ^{n})to L^{2}(mathbb {R} ^{n}).}$

W takiej sytuacji twierdzenie Plancherela mówi, że te odwzorowanie przedłuża się do izometrii przestrzennej $L^{2}({mathbb {R}}^{n})$ na siebie. Bardzo często w przypadku jednowymiarowym te przedłużenie znaczy to samo, co obliczenie wartości głównej całki niewłaściwej zbieżnej: ${displaystyle {hat {f}}(xi )=lim _{Tto +infty }int limits _{-T}^{T}f(x) e^{-2pi ixxi },dx.}$

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela

Opracowanie: Transformacja fouriera

Transformacja fouriera

Opracowanie:
Transformacja fouriera