Translacja

Translacja

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się co to jest translacja. Nauczysz się także przesuwać punkt oraz wykres funkcji o podany wektor.

Translacja – definicja:
W matematyce translacją nazywamy przesunięcie o wektor jakiegoś punktu, bądź figury na płaszczyźnie. W wyniku translacji na płaszczyźnie powstaje nam „obiekt” będący idealnym odzwierciedleniem oryginału, jednak znajduje się on w innym miejscu na płaszczyźnie. Poniżej przedstawiono przykładową translację odcinka IABI o wektor „v”, w wyniku czego otrzymaliśmy odcinek IA’B’I :

Translacja punktu na płaszczyźnie:
Przypuśćmy, że mamy dany punkt P – o współrzędnych (x, y) – oraz punkt P’. Niech będzie tak, że punkt P’ powstał w wyniku przesunięcia (translacji) punktu P o wektor [a, b]. Wówczas punkt P’ będzie miał współrzędne: (x + a, y + b). Powyższą zależność możemy zapisać symbolicznie w następujący sposób:
P = (x, y) –> T [a, b] –> P’ = (x + a, y + b).
A zatem w wyniku translacji punktu P = (x, y) o wektor v = [a, b] powstaje nam punkt P’ = (x + a, y + b).
Przykładowo załóżmy, że mamy punkt P = (1, 5) i chcemy przesunąć go o wektor v = [2, 1]. W wyniku tej translacji powstanie nam punkt P’ = (1 + 2, 5 + 1) = (3, 6), co możemy zapisać symbolicznie:
P = (1, 5) –> T [2, 1] –> P’ = (3, 6).
Przećwiczmy teraz wykonywanie translacji na punktach na poniższym przykładzie.

Przykład 1:
Wykonaj (symbolicznie) przesunięcie punktu P o podany wektor v. Podaj współrzędne punktu P’ powstałego w wyniku tej translacji:
a) P = (3, 11) ; v = [3, 9]
b) P = (6, -4) ; v = [8, 12]
c) P = (-7, 3,5) ; v = [-5, 16]
d) P = (-25, -17) ; v = [-34, -13]

a) Mamy podany punkt P = (3, 11) i chcemy przesunąć go o wektor v = [3, 9]. Wykonujemy translację punktu P o wektor [3, 9]:
P = (3, 11) –> T [3, 9] –> P’ = (3 + 3, 11 + 9) = (6, 20)
A zatem wyniku translacji punktu P = (3, 11) o wektor v = [3, 9] powstaje nam punkt P’ = (6, 20).

b) Podany mamy punkt P = (6, -4), który chcemy przesunąć o wektor v = [8, 12]. Wykonujemy translację punktu P o wektor [8, 12]:
P = (6, -4) –> T [8, 12] –> P’ = (6 + 8, -4 + 12) = (14, 8)
A zatem wyniku translacji punktu P = (6, -4) o wektor v = [8, 12] powstaje nam punkt P’ = (14, 8).

c) Podano nam punkt P = (-7, 3,5), który mamy przesunąć o wektor v = [-5, 16]. Wykonujemy translację punktu P o wektor [-5, 16]:
P = (-7, 3,5) –> T [-5, 16] –> P’ = (-5 – 7, 3,5 + 16) = (-12, 19,5)
A zatem wyniku translacji punktu P = (- 7, 3,5) o wektor v = [-5, 16] powstaje nam punkt P’ = (-12, 19,5).

d) Punkt P = (-25, -17) chcemy przesunąć o wektor v = [-34, -13]. Wykonujemy translację punktu P o wektor [-34, -13]:
P = (-25, -17) –> T [-34, -13] –> P’ = (-25 – 34, -17 – 13) = (-59, -30)
A zatem wyniku translacji punktu P = (-25, -17) o wektor v = [-34, -13] powstaje nam punkt P’ = (- 59, -30).

Translacja odcinka na płaszczyźnie:
Translacja odcinka o dany wektor „v” polega na tym, że każdy punkt tworzący odcinek przesuwany jest o wektor „v”. Przypuśćmy, że mamy dany odcinek IABI o końcach w punktach A = (x1, y1) oraz B = (x2, y2). Odcinek IA’B’I jest odcinkiem powstałym w wyniku przesunięcia (translacji) odcinka IABI o wektor [a, b]. Wówczas końce odcinka IA’B’I będą miały współrzędne: A’ = (x1 + a, y1 + b) oraz B’ = (x2 + a, y2 + b).
Co ciekawe, aby przesunąć odcinek o wektor, wystarczy przesunąć o wektor jego dwa końcowe punkty, a następnie je ze sobą połączyć.
(Translacja jakiejkolwiek figury geometrycznej polega na przesunięciu o wektor każdego punktu „tworzącego” tę figurę)

Translacja wykresu funkcji:
Przypuśćmy, że mamy daną funkcję f(x) i przesuwamy ją o wektor v = [a, b]. Niech będzie tak, że funkcja g(x) powstała w wyniku przesunięcia (translacji) funkcji f(x) o wektor [a, b]. Wówczas, żeby powstała funkcja g(x), każdy iks („x”) we wzorze funkcji f(x) musi zostać zamieniony na wyrażenie „x – a” , a do całego wzoru funkcji f(x) trzeba jeszcze dodać „b”. Powyższą zależność możemy zapisać symbolicznie w następujący sposób:
f(x) –> T [a, b] –> g(x) = f(x – a) + b.
Przykładowo załóżmy, że mamy funkcję określoną wzorem f(x) = 3x + 2 i chcemy przesunąć ją o wektor v = [4, 5]. W wyniku tej translacji powstanie nam funkcja g(x) = (3(x – 4) + 2) + 5 = 3x – 5 co możemy zapisać symbolicznie:
f(x) = 3x + 2 –> T [4, 5] –> g(x) = 3x – 5
Przećwiczmy teraz wykonywanie translacji na wzorach funkcji na poniższym przykładzie.

Przykład 2:
Wykonaj (symbolicznie) przesunięcie wykresu funkcji f(x) o podany wektor v. Podaj wzór funkcji g(x) powstałej w wyniku tej translacji:
a) f(x) = 6x – 4 ; v = [-2, 3]
b) f(x) = ; v = [5, -7]
c) f(x) = x2 – 2x + 1 ; v = [-8, 11]

a) Wykonujemy translację podanej funkcji o wektor [-2, 3]:
f(x) = 6x – 4 –> T [-2, 3] –> g(x) = (6(x – (-2)) – 4) + 3 = 6(x + 2) – 4 + 3 = 6x + 12 – 1 = 6x + 11.
Powstała w wyniku translacji funkcja g(x) wyraża się wzorem: g(x) = 6x + 11.

b) Wykonujemy translację podanej funkcji o wektor [5, -7]:
f(x) = –> T [5, -7] –> g(x) = = = = .
Powstała w wyniku translacji funkcja g(x) wyraża się wzorem: g(x) = .

c) Wykonujemy translację podanej funkcji o wektor [-8, 11]:
f(x) = x2 – 2x + 1 –> T [-8, 11] –> g(x) = ((x – (-8))2 – 2(x – (-8)) + 1) + 11 = (x + 8)2 – 2(x + 8) + 1 + 11 = x2 + 16x + 64 – 2x – 16 + 1 + 11 = x2 + 14x + 60.
Powstała w wyniku translacji funkcja g(x) wyraża się wzorem: g(x) = x2 + 14x + 60.

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się co to jest translacja. Nauczyłeś się także przesuwać punkt oraz wykres funkcji o podany wektor, co przećwiczyłeś na kilku przykładach.