Trapez

Trapez- jest to czworokąt wypukły mający przynajmniej jedną parę równoległych boków (takich które nigdy się nie przecinają)- nazywanych podstawami trapezu, pozostałe dwa boki to ramiona trapezu. W trapezie ważną długością jest także wysokość tego czworokąta, która jest równa długości odległości między podstawami.

zazwyczaj przyjmuje się oznaczenia literowe boków jak na poniższym rysunku:

a- górna podstawa trapezu
b- dolna podstawa trapezu
c, d- ramiona trapezu
h- wysokość trapezu

Jakie czworokąty możemy nazywać trapezami?
Jak widać na poniższym wykresie klasyfikacji czworokątów do trapezów zaliczamy:
-kwadraty,
-romby,
-prostokąty,
-równoległoboki,
Każda z powyżej wymienionych wyżej figur ma dwie pary boków równoległych do siebie, zaś warunkiem, aby figura mogła być nazywana trapezem jest co najmniej jedna para boków równoległych do siebie.

_________________________
Ćwiczenie 1.
Określ, które z narysowanych figur są klasyfikowane do trapezów:

Rozwiązanie:
Rozwiązaniami tego zadania są wszystkie figury o czterech bokach i co najmniej jednej parze boków równoległych. Warunków tych nie spełniają figury B i E. Figura B ma 5 boków, więc nie jest czworokątem (a każdy trapez musi być czworokątem), zaś Figura E nie ma żadnych boków do siebie równoległych.

Odpowiedź: Do trapezów zaliczamy figury: A, C, D, F.
_________________________

_________________________
Ćwiczenie 2.
Określ czy czworokąt o wierzchołkach w punktach A= (1, -1), B= (2, -3), C= (3, 3), D= (-1, 4) jest trapezem o podstawach w bokach AB i CD.

Rozwiązanie:
Aby ocenić czy czworokąt jest trapezem należy sprawdzić czy podstawy są równoległe wyznaczając równania prostych do których należą boki- AB i CD co robimy podstawiając dane po wzór ogólny funkcji liniowej f(x)= ax +b , jeśli proste będą się różnić tylko b (współczynnik kierunkowy- a obu prostych musi być taki sam) to proste te są równoległe:

Równanie prostej, do której należy odcinek AB:
| f(x)A= axA+ b
{
| f(x)B= axB+ b
Podstawiamy dane z punktów i liczymy metoda przeciwnych współczynników niewiadomą- a:
xA= 1
f(x)A= -1
xB= 2
f(x)B= -3

| -1= a1+ b
{
| -3= a2+ b |- (odejmujemy drugie równanie od pierwszego aby powstało równanie z jedną niewiadomą)
——————–
-1- (-3)= 1a- 2a+ b- b
-1+ 3= -1a
2= -a
a= -2
Gdy znamy wartość współczynnika kierunkowego podstawiamy pod dowolne równanie jego wartość, aby obliczyć niewiadomą- b:
-1= a1+ b, dla a=-2:
-1= -2*1+ b
-1= -2+ b
1= b
Więc prosta do której należy odcinek AB ma równanie:
AB: f(x)= -2x+ 1

Równanie prostej, do której należy odcinek CD:
| f(x)C= axC+ b
{
| f(x)D= axD+ b
Podstawiamy dane z punktów i liczymy metoda przeciwnych współczynników niewiadomą- a:
xC= 3
f(x)C= 3
xD= -1
f(x)D= 4
| 3= a3+ b
{
| 4= a*(-1)+ b |- (odejmujemy drugie równanie od pierwszego aby powstało równanie z jedną niewiadomą)
——————–
3- 4= a3- (-1)a+ b- b
3- 4= 3a+ 1a
-1= 4a
a=
Jak możemy zauważyć współczynnik kierunkowy prostej do której należy odcinek AB jest inny od współczynnika kierunkowego prostej do której należy prosta CD, więc proste te nie są równoległe do siebie.
aAB≠ aCD
-2≠
Podstawy trapezu muszą być równoległe, więc czworokąt ten nie jest trapezem o podstawach AB i CD.

Odpowiedź: Czworokąt o wierzchołkach w punktach A= (1, -1), B= (2, -3), C= (3, 3), D= (-1, 4) nie jest trapezem o podstawach w bokach AB i CD.
_________________________

Obwód każdego trapezu liczymy poprzez dodanie do siebie długości wszystkich boków:
Obw= a+ b+ c+ d
a- długość boku a
b- długość boku b
c- długość boku c
d- długość boku d

_________________________
Ćwiczenie 3.
Oblicz długość obwodu w trapezie o długości boków: a= 2 cm, b= 3 cm c= 2 cm, d= cm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
a= 2 cm,
b= 3 cm,
c= 2 cm,
d= cm.
Wypisujemy szukane:
Obw= ?
Podstawiamy dane pod wzór na długość obwodu- sumujemy długości wszystkich boków tej figury:
Obw= a+ b+ c+ d
Obw= 2 cm+ 3 cm+ 2 cm+ cm
Obw= 7 cm+ cm

Odpowiedź: Obwód trapezu o podanych w treści zadania długościach boku wynosi: Obw= 7 cm+ cm.
_________________________

Pole każdego trapezu możemy opisać wzorem:
P= ½· (a+ b)· h
a- jedna z podstaw trapezu;
b- druga podstawa trapezu;
h- wysokość trapezu; odległość między podstawami trapezu;
P- pole trapezu.
Innym wzorem opisującym pole każdego trapezu jest:
, gdzie:
a, b- podstawy trapezu
c, d- ramiona trapezu
Kolejnym sposobem liczenia pola trapezu jest policzenie iloczynu długości środkowej-m i długości wysokości- h.
P= mh
m=

Środkowa w trapezie (m) jest to prosta przechodząca przez środki ramion trapezu.

_________________________
Ćwiczenie 4.
Oblicz pole trapezu o długościach podstaw a= 10 cm, b= 15 cm i długości wysokości h=0,5 dm.

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
a= 10 cm,
b= 15 cm,
h= 0,5 dm
Wypisujemy szukane:
P= ?
Zamieniamy wszystkie długości boków, aby każda wartość była w tej samej jednostce, zamieniamy na centymetry ponieważ wtedy pracujemy na całkowitych liczbach a nie na ułamkach, co ułatwi sprawę:
a= 10 cm,
b= 15 cm,
h= 5 cm
Podstawiamy dane w tej samej jednostce do wzoru na pole dowolnego trapezu:
P= ½· (a+ b)· h
P= ½· (10 cm+ 15 cm)· 5 cm
Rozwiązujemy równanie zgodnie z kolejnością wykonywania działań (zaczynając zsumowania wartości w nawiasie):
P= ½· (25 cm)· 5 cm
P= ½· 125 cm2
P= 62,5 cm2

Odpowiedź: Pole trapezu o podstawach długości a= 10 cm, b= 15 cm i wysokości długości h=0,5 dm jest równe P= 62,5 cm2.
_________________________

Trapezy możemy podzielić na:
1) Trapezy prostokątne- jest to czworokąt o co najmniej dwóch kątach prostych (równych 90º). Co najmniej jedno ramię tej figury tworzy z podstawami kąt prosty.
Własności trapezów prostokątnych:
–Ramie trapezu prostokątnego, które znajduję się pod kątem prostym do obu podstaw-c ma długość równa wysokości tego trapezu, odległości pomiędzy podstawami.
c= h
-przykładami trapezów prostokątnych o dwóch ramionach pod kątem prostym względem podstaw są kwadraty i prostokąty;

Obwód trapezu prostokątnego można zapisać dwoma sposobami:
1) sposobem na obwód każdego trapezu:
Obw= a+ b+ c+ d
2) zastępując długość prostopadłego ramienia, długością wysokości która ma taka samą wartość
Obw= h+ a+ b+ d

Pole trapezu prostokątnego można zapisać:
1) zastępując długość wysokości we wzorze na pole dowolnego trapezu długością ramienia:
P= ½· (a+ b)· c
2) korzystając ze wzoru na pole każdego trapezu:
P= ½· (a+ b)· h

_________________________
Ćwiczenie 5.
Oblicz pole i obwód trapezu prostokątnego o bokach:
a) a= 5 cm, b= 10 cm, c= 4 cm , gdzie:
a- górna podstawa
b- dolna podstawa
c- ramię znajdujące się pod kątem prostym do obu podstaw
b) a= 5cm, b=9 cm, d= 5 cm, gdzie:
a- górna podstawa
b- dolna podstawa
d- ramię nie znajdujące się pod kątem prostym do obu podstaw

a) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
a= 5 cm,
b= 10 cm,
c= 4 cm.
Wypisujemy szukane:
P= ?
Obw= ?
Zaczynamy od obliczenia pola ponieważ do obliczenia tej wartości mamy wszystkie potrzebne nam dane, korzystając z następującego wzoru na pole trapezu prostokątnego:
P= · (a+ b)· c
P= · (5 cm+ 10 cm)· 4 cm
P= 15 cm· 2 cm
P= 30 cm2
Następnie rysujemy pomocniczy rysunek, aby obliczyć długość ostatniego boku- d:

Aby obliczyć długość ramienia- d korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa w powstałym poprzez podzielenie wysokości tego trapezu trójkącie prostokątnym (trójkąt prostokątny zamalowany na fioletowo na rysunku pomocniczym):
x2+ c2= d2
Aby skorzystać z tego Twierdzenia musimy znać niewiadomą x, która jest równa różnicy dłuższej i krótszej podstawy:
x= b- a
x= 10 cm- 5 cm
x= 5 cm
Gdy znamy wartość długości odcinka x możemy obliczyć długość ostatniego boku w trapezie korzystając z wcześniej napisanego Twierdzenia Pitagorasa:
x2+ c2= d2
(5 cm)2+ (4 cm)2= d2
25 cm2+ 16 cm2= d2
41 cm2= d2
d= cm
lub
d= cm
Aczkolwiek długość odcinka nie może być wartością ujemną więc jedynym rozwiązaniem tego równania jest:
d= cm
Gdy znamy długości każdego boku możemy obliczyć długość obwodu sumując te długości:
Obw= a+ b+ c+ d
Obw= 5 cm+ 10 cm+ 4 cm+ cm
Obw= 19 cm+ cm

Odpowiedź: Pole trapezu o danych długościach boków jest równe P= 30 cm2, zaś jego obwód jest równy
Obw= 19 cm+ cm.

b) Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
a= 5cm,
b=9 cm,
d= 5 cm.
Wypisujemy szukane:
P= ?
Obw= ?
Rysujemy obrazek pomocniczy:

Aby obliczyć obie szukane wartości potrzebujemy wartości długości ramienia prostopadłego do podstaw- c. Wiemy, że długość tego ramienia jest równa długości wysokości więc możemy podzielić ten trapez na trójkąt prostokątny i prostokąt jak na powyższym rysunku. Aby obliczyć długość wysokości-c używamy Twierdzenia Pitagorasa w zamalowanym na fioletowo trójkącie prostokątnym:
x2+ c2= d2
Długość odcinka x jest różnica długości dłuższej i krótszej podstawy:
x= b- a
x= 9 cm – 5 cm
x= 4 cm
Podstawiamy dane pod wyżej napisane równanie z Twierdzenia PItagorasa:
x2+ c2= d2
(4 cm)2+ c2= (5 cm)2
16 cm2+ c2= 25 cm2
c2= 25 cm2– 16 cm2
c2= 9 cm2
c= 3 cm
lub
c= -3 cm
Aczkolwiek długość odcinka nie może być wartością ujemną więc jedynym rozwiązaniem tego równania jest:
c= 3 cm
Gdy znamy wartość długości wszystkich boków trapezu, sumujemy je aby uzyskac długość obwodu tego trapezu:
Obw= a+ b+ c+ d
Obw= 5cm+ 9 cm+ 3cm+ 5 cm
Obw= 22 cm
Teraz liczymy pole tego trapezu korzystając ze wzoru:
P= · (a+ b)· c
P= · (9 cm+ 5 cm)· 3 cm
P= · 14 cm· 3 cm
P= 7 cm· 3 cm
P= 21 cm2

Odpowiedź: Pole tego trapezu prostokątnego wynosi P= 21 cm2, zaś jego obwód Obw= 22 cm.
_________________________

2) Trapezy równoramienne- ramiona w tej figurze są równej długości, ale nie jest ona równoległobokiem.
Własności trapezów równoramiennych:
-ma oś symetrii przecinającą podstawy na połowy oraz przez punkt przecięcia się przekątnych.
-oś symetrii dzieli trapez ten na dwa przystające trapezy prostokątne o długości boków: h, , , c.
-kąty miedzy ramionami a dana podstawą są równe; kąty przy podstawie a mają taką sama miarę, kąty przy podstawie b mają taka sama miarę.
-suma miar kątów przeciwległych jest równa 180°
miara kąta czerwonego+ miara kąta niebieskiego= 180°
-przekątne w trapezie równoramiennym są równej długości- e.

Obwód trapezu równoramiennego można zapisać dwoma sposobami:
1) sposobem na obwód każdego trapezu:
Obw= a+ b+ c+ d
2) zastępując długość ramienia-d, długością ramienia-c, które jest tej samej długości:
Obw= a+ b+ c+ c
Obw= 2c+ a+ b

Pole trapezu równoramiennego można zapisać zastępując długość wysokości we wzorze na pole dowolnego trapezu długością ramienia:
P= ½· (a+ b)· h
Aby obliczyć długość wysokości trapezu równoramiennego korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym, zaznaczonym na fioletowo:

Aby wyznaczyć bok trójkąta należący do dolnej podstawy należy od długości tej podstawy odjąć długość któtszej podstawy i podzielić na dwa:

x2+ h2= c2
h2= c2– x2
h=
Wartość wysokości- h możemy zastąpić pierwiastkiem, więc:

P= ½· (a+ b)· √c2– x2

Innym sposobem na obliczenie pola trapezu równoramiennego jest wzór:

P- pole trapezu równoramiennego:
e- długość przekątnej trapezu równoramiennego:
– kąt miedzy przekątnymi trapezu (ten żółty na powyższym obrazku).

_________________________
Ćwiczenie 5.
Oblicz pole i obwód trapezu równoramiennego o bokach:
h= 4 cm, e= 5 cm, a= 2 cm, gdzie:
a- długość krótszej podstawy trójkąta równoramiennego;
e- długość przekątnej trójkąta równoramiennego;
h- długość wysokości trójkąta równoramiennego;

Rozwiązanie:
Wypisujemy dane:
h= 4 cm,
e= 5 cm,
a= 2 cm.
Wypisujemy szukane:
Obw= ?
P= ?
Rysujemy pomocniczy obrazek:

Aby obliczyć długość podstawy- b musimy użyć Twierdzenia Pitagorasa w zaznaczonym na fioletowo trójkącie prostokątnym:
2 cm+ x= t- długość jednej przyprostokątnej w fioletowym trójkącie (zastępujemy tą wartość literą t dla ułatwienia obliczeń)
t2+ h2= e2
t2+ (4 cm)2= (5 cm)2
t2+ 16 cm2= 25 cm2
t2= 25 cm2– 16 cm2
t2= 9 cm2
t= 3 cm
lub
t= -3 cm
Aczkolwiek długość odcinka nie może być wartością ujemną więc jedynym rozwiązaniem tego równania jest:
t= 3 cm
t= 2 cm+ x
3 cm= 2 cm+ x
x= 3 cm- 2 cm
x= 1 cm
Liczymy długość dłuższej podstawy- b
b= 2x + 2 cm
b= 2· 1 cm + 2 cm
b= 4 cm
Gdy znamy już długości podstaw- a, b, a także długość wysokości- h możemy obliczyć pole tego trapezu:
P=· (a+ b)· h
P=· ( 2cm + 4 cm)· 4 cm
P= (1 cm+ 2 cm)· 4 cm
P= 12 cm2
Aby obliczyć obwód tej figury musimy znać długość ramion- c, wartość tę liczymy z Twierdzenia Pitagorasa w zamalowanym na pomarańczowo trójkącie:

h2+ x2= c2
(4 cm)2+ (1 cm)2= c2
16 cm2+ 1 cm2= c2
c2= 17 cm2
c=
lub
c=
Aczkolwiek długość odcinka nie może być wartością ujemną więc jedynym rozwiązaniem tego równania jest:
c=
Więc obwód jest sumą krawędzi i podwojonej wartości długości jednego z ramion trapezu równoramiennego:
Obw= a+ b+ 2c
Obw= 2 cm+ 4 cm+ 2· cm
Obw= 6 cm+ cm

Odpowiedź: Pole tego trapezu równoramiennego wynosi P= 12 cm2, zaś obwód tego trapezu jest równy Obw= 6 cm+ cm.