Trójkąt 30 60

Trójkąt 30, 60, 90°
Zacznę od tego czym jest trójkąt. Jest on wielokątem o trzech bokach i trzech kątach. Suma jego kątów wewnętrznych wynosi 180°. Często jeden z boków trójkąta określa się podstawą, a pozostałe dwa boki ramionami.
Wysokość trójkąta jest odcinkiem łączącym jeden z jego wierzchołków z przeciwległym bokiem, do którego jest ona prostopadła. W trójkącie równobocznym dzieli ona kąt z którego wychodzi na dwie równe części.

Jak nazwa wskazuje w trójkącie 30, 60, 90° kąty wynoszą 30°, 60° i 90°. Jest on trójkątem prostokątnym, ponieważ ma jeden kąt prosty. Powstaje on przez poprowadzenie wysokości w trójkącie równobocznym, w którym wszystkie kąty wynoszą 60°. Jeśli przyjmiemy jako a długość boku, którego kąty wynoszą 90° i 60°, to bok z kątami 30° i 60° będzie wynosił 2a, a trzeci bok wynosi a√3. Wynika to z twierdzenia Pitagorasa. Znając taką właściwość i długość jednego boku tego trójkąta możemy obliczyć długości pozostałych boków.
Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkątów prostokątnych, a dokładnie:
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Wzór na to twierdzenie to:
a2 + b2 = c2, gdzie a i b to przyprostokątne, a c to przeciwprostokątna tego trójkąta.

przykład 1
W trójkącie 30, 60, 90° ABC kąt A jest prosty. Jeśli bok |BC| wynosi 14 cm to jakie są długości pozostałych boków trójkąta?
Rozwiązanie:
Kąty B i C mają miary 30° i 60°,więc:
|BC| = 2a, podstawiamy dane;
2a = 14 cm, dzielimy przez 2;
a = 7 cm, jest to długość drugiego boku;
Obliczamy długość trzeciego boku:
c = a√3, podstawiamy dane;
c = 7√3 cm
odp. Długości pozostałych boków tego trójkąta to 7 cm i 7√3 cm.

przykład 2
Jeśli w trójkącie 30, 60, 90° bok między kątami 90° i 60° wynosi 5 to ile wynosi obwód tego trójkąta?
Rozwiązanie:
a = 5
2a = 10
a√3 = 5√3
L = a + b + c
L = 5 + 10 + 5√3
L = 15 + 5√3
odp. Jego obwód wynosi 15 + 5√3.

przykład 3
Oblicz pole trójkąta 30, 60, 90°, którego najkrótszy bok wynosi 4 cm.
Rozwiązanie:
a < a√3 < 2a
a = 4 cm
2a = 8cm
a√3 = 4√3 cm
Obliczmy pole tego trójkąta:
P = a*h : 2, gdzie a i h to przyprostokątne w trójkącie prostokątnym;
P = 4*4√3 : 2
P = 8√3 cm2
odp. Pole tego trójkąta prostokątnego wynosi 8√3 cm2.