Trójkąt 45 45 90

Trójkąt o kątach 45,45,90 stopni to połowa prostokąta, gdzie przyprostokątne tego trójkąta to dwa z boków prostokąta, a przeciwprostokątna to jego przekątna.

WZORY NA DŁUGOŚCI BOKÓW I PRZEKĄTNEJ TEGO TRÓJKĄTA:
bok pomiędzy kątami 60 i 90 stopni jest najkrótszy ma długość a
bok pomiędzy kątami 30 i 90 stopni ma długość (iloczyn długości najkrótszego boku i )
bok pomiędzy kątami 60 i 30 stopni jest najdłuższym i jest dwukrotnie dłuższy od najkrótszego, więc jeśli długość najkrótszego boku to a to długość najdłuższego boku to 2a (2 razy a)

PRZYKŁAD nr 1
Jeśli bok pomiędzy kątami 60 i 90 stopni ma długość 3 centymetry to bok pomiędzy kątami 60 i 30 stopni ma długość 6 centymetry, a bok pomiędzy kątami 30 i 90 stopni ma długość [cm].

Trójkąt o kątach 45,45,90 stopni może być również połową trójkąta równobocznego gdzie najkrótszy bok
(o długości a) to połowa podstawy, najdłuższy bok (o długości 2a) to ramię trójkąta równobocznego, a bok pomiędzy kątami 30 i 90 (o długości ) to wysokość trójkąta równobocznego.

Przykład nr 2

Jeśli bok połowa podstawy ma długość 8 centymetrów to długość podstawy wynosi 2*8 = 16 ze względu na to, że jest to trójkąt równoboczny to długość podstawy będzie taka sama jak długość każdego ramienia czyli 16 centymetrów. Wysokość tego trójkąta wynosi, więc ( co wynika z poniżej podanego wzoru ).

Wzór na wysokość trójkąta równobocznego:
a – długość boku
h =

TWIERDZENIE PITAGORASA

Wszystkie te wzory wynikają z Twierdzenia Pitagorasa, które polega na możliwości obliczenia przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.

a – jedna przyprostokątna
b- druga przyprostokątna
c- przeciwprostokątna

wzór:

a2+b2=c2

Jeśli podniesiemy do kwadratu obie długości przyprostokątnych, dodamy je do siebie a później obliczymy z tej liczby pierwiastek to poznamy długość przeciwprostokątnej.

Przykład nr 3

Jeśli przyprostokątne trójkąta mają długości 3 oraz 4 i chcemy obliczyć przeciwprostokątną tego trójkąta wystarczy:
podnieść obie te liczby do potęgi i dodać do siebie
obliczyć pierwiastek tej liczby

32 + 42 = c2
25 = c2
c = 5