Trójkąt równoramienny

Trójkąt równoramienny

Zacznę od tego czym jest trójkąt. Jest on wielokątem wypukłym, który ma trzy boki i trzy wierzchołki, czyli punkty z których wychodzą jego boki. Suma jego trzech kątów wewnętrznych wynosi 180°. Warto zauważyć, że w trójkącie każde dwa boki są dłuższe od trzeciego:
a + b > c
b + c > a
c + a > b
Jego pole oblicza się ze wzoru:
P = , gdzie a to jego bok, a h jest wysokością opadającą na bok a;
Wysokość trójkąta to najkrótszy odcinek, który łączy jeden z jego wierzchołków z przeciwległym bokiem, do którego jest prostopadły. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają się w punkcie zwanym ortocentrum.
Środkowa trójkąta to odcinek łączący jeden z wierzchołków trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Każdy trójkąt ma 3 środkowe przecinające się w punkcie zwanym barycentrum.

Trójkąt równoramienny natomiast jest trójkątem, którego co najmniej dwa boki mają równe długości. Te dwa równe boki nazywamy ramionami, a trzeci bok podstawą. Kąty przy podstawie są takie same i mają miarę mniejszą niż 90°. Wysokość trójkąta równoramiennego opadająca na podstawę, dzieli ją na dwie równe części, a trójkąt dzieli na dwa identyczne trójkąty prostokątne, czyli takie które posiadają jeden kąt prosty – 90°. Każdy trójkąt równoramienny posiada co najmniej jedną oś symetrii, która pokrywa się z wysokością i środkową opadającą na podstawę tego trójkąta. Oś symetrii to prosta dzieląca daną figurę na dwie części, które są identyczne.

Ważne trójkąty równoramienne:
– trójkąt równoboczny – trójkąt, którego wszystkie boki i kąty są równe. Każdy jego kąt wynosi 60°. Jest on wielokątem foremnym. Dowolne dwa z jego boków można uznać za ramiona. Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty 90°, 60°, 30°. Trójkąty te również są szczególne, ponieważ możemy obliczyć jego obwód i pole znając długość tylko jednego z boków. Jeśli przyjmiemy długość jego boku między kątami 60° i 90° jako a, to bok między kątami 30° i 90° wynosi a√3, a trzeci bok ma długość 2a. Pole trójkąta równobocznego oblicza się ze wzoru
P = a2√3 : 4, gdzie a to długość boku trójkąta. Wzór na jego obwód to 3a. Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii.
– trójkąt równoramienny prostokątny – między ramionami ma on kąt prosty, a przy podstawie kąt 45°. Wysokość opadająca na jego podstawę dzieli go na dwa trójkąty równoramienne prostokątne. Trójkąt ten jest połową kwadratu, a jego przeciwprostokątna jest przekątną tego samego kwadratu.
Kwadrat to wielokąt o czterech równych bokach i czterech kątach, które są proste.

przykład 1
W trójkącie równoramiennym ABC kąt A wynosi 90°. Jeśli bok |AB| wynosi 6 cm to jakie są długości pozostałych boków?
Rozwiązanie:
UWAGA: Twierdzenie Pitagorasa dotyczy trójkątów prostokątnych. Jego treść to:
W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta.
Jego wzór to:
a2 + b2 = c2, gdzie a i b to przyprostokątne, a c jest przeciwprostokątną tego trójkąta prostokątnego. To twierdzenie najczęściej wykorzystuje się do obliczenia długości boku trójkąta prostokątnego, gdy znamy dwa inne boki.
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
a2 + 62 cm = c2, wiemy, że boki a i b są takie same, ponieważ są one ramionami trójkąta równoramiennego;
62 + 62 cm = c2
36 + 36 cm = c2
c2 = 72 cm, wyciągamy pierwiastek;
c = √72 cm
c = √(36*2) cm, wyciągamy czynnik przed pierwiastek;
c = 6√2 cm
odp. Długość boku |AC| wynosi 6 cm, a długość trzeciego boku, czyli przeciwprostokątnej tego trójkąta wynosi 6√2 cm.

przykład 2
W trójkącie ABC, |AC| = |BC|, więc jest on równoramienny. Jeśli jego ramiona mają długość 4, a podstawa ma 7, to jaką długość ma wysokość opuszczona z wierzchołka C?
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, gdzie a to wysokość tego trójkąta, b to połowa jego podstawy, a c jest jednym z jego ramion;
a2 + (7 : 2)2 = 42
a2 + 3,52 = 16
a2 = 16 – 3,52
a2 = 16 – 12,25
a2 = 3,75, wyciągamy pierwiastek;
a = √3,75
odp. Wysokość tego trójkąta równoramiennego opuszczona z wierzchołka C na przeciwległy bok wynosi √3,75.

przykład 3
Jaką długość ma ramię trójkąta równoramiennego, jeśli kąt między nimi wynosi 120°, a długość podstawy tego trójkąta wynosi 20?
Rozwiązanie:
Jak wiemy wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli kąt z którego wychodzi na dwie równe części, a dany trójkąt na dwa identyczne trójkąty przystające. Wynika z tego, że jeśli poprowadzimy wysokość z kąta rozwartego w tym trójkącie to powstaną nam dwa trójkąty 90°,60°, 30°.
Wysokość dużego trójkąta jest wspólnym bokiem mniejszych trójkątów prostokątnych, przy którym kąty wynoszą 90° i 60°. Wynika z tego, że jeśli oznaczymy ją jako a, to jego ramię możemy oznaczyć jako 2a, a połowę jego podstawy możemy oznaczyć jako a√3. Wiemy więc, że długość połowy jego podstawy:
20 : 2 = a√3
a√3 = 10, dzielimy przez √3;
a = 10 : √3, mnożymy przez 2;
2a = 10 : √3
odp. Długość ramienia tego trójkąta równoramiennego wynosi 10 : √3.

przykład 4
W trójkącie równoramiennym, którego ramiona wynoszą 13 cm, wysokość, która jest opuszczona z wierzchołka pomiędzy ramionami ma długość 5 cm. Jaka jest długość podstawy tego trójkąta równoramiennego?
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
a2 + 52 = 132
a2 + 25 = 169
a2 = 169 – 25 cm
a2 = 144 cm, wyciągamy pierwiastek;
a = √144 cm
a = 12 cm, mnożymy przez 2;
a = 24 cm
odp. Długość podstawy tego trójkąta równoramiennego wynosi 24 cm.

przykład 5
Oblicz pole trójkąta równoramiennego, wiedząc że jego ramiona mają długości 8, a jego podstawa ma długość 6.
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, podstawiamy dane;
h2 + (6 : 2)2 = 82
h2 + 32 = 64
h2 = 64 – 32
h2 = 64 – 9
h2 = 55
h = √55
P = a*h : 2, podstawiamy dane;
P = 6*√55 : 2
P = 3√55
odp. Pole tego trójkąta równoramiennego wynosi 3√55.

przykład 6
Oblicz pole kwadratu o przekątnej 7.
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, podstawiamy długość przekątnej kwadratu;
a2 + b2 = 72, wiemy, że boki a i b są równe, ponieważ są to boki kwadratu;
2a2 = 49, dzielimy przez 2;
a2 = 24,5, wyciągamy pierwiastek;
a = √24,5
P = a2, podstawiamy długość boku tego kwadratu;
P = (√24,5)2
P = 24,5
odp. Pole tego kwadratu wynosi 24,5.

przykład 7
Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku x, którego wysokość wynosi 12√3.
Rozwiązanie:
a2 + b2 = c2, gdzie a to wysokość trójkąta, b to połowa jego podstawy, a c to długość jego ramienia;
(12√3)2 + (x : 2)2 = x2
144*3 = x2 – x2 : 4
432 = 3/4x2, mnożę przez 4;
3x2 = 1728, teraz dzielimy przez 3
x2 = 576, wyciągamy pierwiastek;
x = √576
x = 24
Teraz obliczamy pole tego trójkąta równobocznego ze wzoru;
P = a2√3/4, podstawiamy długość boku;
P = 242√3/4
P = 576√3/4
P = 144√3
odp. Pole tego trójkąta równobocznego wynosi 144√3.

przykład 8
W trójkącie równoramiennym ABC jeden kąt A ma miarę 42°. Podaj wszystkie możliwe miary pozostałych dwóch kątów w tym trójkącie.
Rozwiązanie:
Przypuśćmy, że kąt A jest kątem między ramionami. Wiemy, że pozostałe dwa kąty przy podstawie są równe, więc:
180° = 42° + 2x, gdzie x to miara kąta przy podstawie;
2x = 180° – 42°
2x = 138°, dzielimy przez 2;
x = 69°, jest to miara obydwu pozostałych kątów w tym trójkącie;
Teraz weźmy drugą możliwość, że kąt A jest przy podstawie, czyli drugi kąt przy podstawie jest mu równy;
180° = 42° + 42° + y, gdzie y jest miarą kąta między ramionami w tym trójkącie;
y = 180° – 84°
y = 96°
odp. Pozostałe kąty tego trójkąta równoramiennego mogą mieć miary 69° i 69°, lub 42° i 96°.