Trójkąty przystające

1 . Czym są trójkąty przystające?

Trójkąty przystające to trójkąty, których odpowiednie kąty i boki są sobie równe.

Wyróżniamy trzy cechy przystawania trójkątów:

1) Cecha Bok-Bok-Bok (w skrócie BBB)

Zgodnie z tą cechą, jeśli boki jednego trójkąta są równe odpowiednim bokom drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

Jeśli i to (co czytamy: trójkąt ABC jest przystający do trójkąta DEF).

Znak jest znakiem przystawania figur.

2) Cecha Bok-Kąt-Bok (w skrócie BKB)

Zgodnie z tą cechą, jeśli dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiednim dwóm bokom drugiego trójkąta oraz kąt zawarty między danymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę jak kąt zawarty między danymi bokami drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

Graficznie wygląda to w następujący sposób:

Zatem jeśli i , to .

3) Cecha Kąt-Bok-Kąt (w skrócie KBK)

Zgodnie z tą ostatnią cechą, jeśli bok jednego trójkąta jest równy bokowi drugiego trójkąta oraz jeśli dwa kąty leżące przy tym boku jednego trójkąta są równe dwóm kątom leżącym przy boku drugiego trójkąta, to te trójkąty są przystające.

Czyli jeśli i , to .

UWAGA! Nie ma – tak jak w przypadku cech trójkątów podobnych – cechy Kąt-Kąt-Kąt (w skrócie KKK). Trójkąty bowiem mogą mieć takie same kąty, a wcale nie muszą być przystające, co widać na poniższym rysunku:

Nawet jeśli i , nie jest to dowód na przystawanie do . To ważne i należy o tym pamiętać!

2 .Przykładowe zadania na dowodzenie.

W takich zadaniach musimy zazwyczaj dowieść, że dane trójkąty są do siebie przystające, opierając się na jednej z poznanych przed chwilą cech. Spróbujmy zrobić pierwszy przykładowy dowód.

Mamy dany rysunek:

W zadaniu podane mamy, iż odcinek AB jest równoległy do odcinka DE ( ) oraz że odcinek AC ma taką samą długość jak odcinek CE ( ). Musimy natomiast udowodnić, że jest przystający do .

Najpierw oznaczamy sobie na rysunku boki tej samej długości:

O pozostałych bokach podanych trójkątów nie mamy już informacji w treści. Poszukajmy więc wspólnych kątów. Przy punkcie C możemy oznaczyć identyczne kąty, zwane kątami wierzchołkowymi:

Mamy już wspólny bok i kąt. Cecha BBB już więc nie może być. Teraz musimy znaleźć jeszcze jeden wspólny kąt, gdyż o żadnym z boków nie mamy więcej informacji.

Zwróćmy uwagę na kąty przy wierzchołkach A i E. Jako że możemy mówić tu o kątach naprzemianległych. Zatem :

Opierając się na powyższych rozważaniach możemy udowodnić już, że na podstawie cechy KBK (kąty: ; bok ) c.k.d. (co kończy dowód lub c.n.d – co należało dowieść).

Spróbujmy zrobić inny przykład. Dany mamy poniższy rysunek:

Naszym zadaniem jest udowodnić, że . Dane mamy ponadto, że .

Z rysunku wiemy, że . Te kąty będą nam potrzebne do dowodu.

Z treści zadania możemy wziąć również tej samej długości boki. Będziemy więc mieli :

Do drugiej lub trzeciej cechy przystawania trójkątów brakuje nam jeszcze kąta albo boku. Spójrzmy więc na odcinek BD. Jest on odcinkiem wspólnym obu trójkątów. Oznaczmy go sobie jako :

A więc na podstawie cechy BKB możemy stwierdzić, iż c.k.d.

Zróbmy jeszcze jedno zadanie, tym razem tekstowe, do którego sami musimy wykonać rysunek.

Napisane mamy, iż w prostokącie ABCD punkt E jest środkiem boku CD. Naszym zadaniem jest uzasadnić, że trójkąty BCE oraz ADE są przystające.

Najpierw wykonajmy wstępny rysunek:

Skupmy się najpierw na kątach. Z własności prostokąta wiemy, że wszystkie jego kąty są kątami prostymi. Mamy więc pierwszy element cechy przystawania.

Teraz posłużmy się własnościami co do boków prostokąta. Wiemy, że te leżące naprzeciw siebie mają taką samą długość. A więc :

Przyjrzyjmy się teraz odcinkowi CD. Wiemy z treści zadania, że punkt E jest środkiem tego odcinka, mamy więc, że :

Na podstawie cechy BKB możemy więc stwierdzić, że c.n.d.