Trójmian kwadratowy

Inna nazwa trójmianu kwadratowego, to funkcja kwadratowa.

Czym ona właściwie jest, jaką ma postać ,jak wygląda, co powinniśmy wiedzieć? postaram się Wam wyjaśnić w tym artykule.

Wykres funkcji kwadratowej to parabola. Z wierzchołka wychodzą dwa ramiona, które kształtują się w literkę U. We wzorze trójmianu znajdują się 3 współczynniki (a, b i c). Wygląd wykresu paraboli zależny jest od współczynnika a.
Gdy a>0, parabola ma skierowane ramiona w górę (kształt litery U), gdy a<0 ramiona paraboli skierowane są w dół, nadając wygląd .
Wzór funkcji kwadratowej możemy zapisać w trzech postaciach:

Postaci ogólnej
Postaci iloczynowej
Postaci ogólnej
Zacznijmy od najprostszej postaci, czyli ogólnej.

Funkcja kwadratowa (trójmian kwadratowy) w postaci ogólnej wyraża się wzorem

y=ax2+bx+c.

Żeby funkcja kwadratowa istniała a nie może równać się 0.
Wtedy wzór trójmianu wyglądałby tak: y=0x2+bx+c. Mielibyśmy 0 x to potęgi 2 (czyli do kwadratu), w taki sposób zamiast funkcji kwadratowej mielibyśmy funkcję liniową.
Żeby zapisać funkcję kwadratową w postaci ogólnej wystarczy znać współczynniki (a, b ,c).

Przykłady funkcji kwadratowej zapisanej w postaci ogólnej:
y=7x2+4x+9
y=-30x2-90x+40
y= x2+8-3

Przejdźmy do postaci iloczynowej.

Żeby ją zapisać potrzebujemy znać pierwiastki(miejsca zerowe) funkcji kwadratowej. W takim razie przejdźmy do tego, jak obliczyć miejsca zerowe trójmianu kwadratowego i czym właściwie są. Miejsca zerowe to punkty, w których parabola przecina oś X, czyli oś poziomą.

Żeby obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej, musimy skorzystać z wzoru na deltę.
Δ=b2-4ac
Na przykładzie obliczmy deltę dla funkcji kwadratowej o wzorze
a) y= x2+6x
Wypiszmy współczynniki:
a=1 b=6 c=0
Δ=b2-4ac= (6)2-4*1*0=36-0=36
Żeby obliczyć miejsca zerowe trójmianu kwadratowego rozpatrujemy trzy przypadki delty.
Δ>0, dwa miejsca zerowe
Δ<0, brak miejsc zerowych
Δ=0, jedno, podwójne miejsce zerowe

W naszym przypadku, delta jest większa od 0.
Skorzystamy z wzoru na miejsca zerowe trójmianu kwadratowego, który używamy tylko gdy delta jest większa od 0.
x1= x2=
Podstawmy współczynniki do wzoru.
Δ=36 =6
x1= = =-6
x2= = =0

Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej ma wygląd: y=a(x-x1)(x-x2)
Podstawmy, w naszym przykładzie a=1
y=1(x-(-6))(x-0)
y=(x+6)(x-0)
b) y=x2-3+7
a=1 b=-3 c=7
Δ=b2-4ac=(-3)2-4*1*7=9-28=-19

DELTA UJEMNA, BRAK MIEJSC ZEROWYCH
c) y= 3x2-6x+3
a=3 b=-6 c=3
Δ=b2-4ac=(-6)2-4*3*3=36-36=0

DELTA RÓWNA 0, JEDNO PODWÓJNE MIEJSCE ZEROWE
x0= = =1
Postać iloczynowa, gdy delta=0
y=a(x-x0)2
Podstawmy
y=3(x-1)2

Przejdźmy dalej do postaci kanonicznej, a przy okazji poznamy wzory na współrzędne wierzchołka paraboli
Postać kanoniczna ma wzór y=a(x-p)2+q
Przy czym wierzchołek paraboli to P(p;q)

Jak obliczyć pierwszą współrzędne tego punktu?
Żeby obliczyć p korzystamy z tego samego wzoru, jak na miejsce zerowe, w przypadku gdy delta=0.
p=
Żeby obliczyć q korzystamy ze wzoru lub obliczając f(p)
Przykład zadania
Zapisz wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej i iloczynowej wiedząc, że postać ogólna ma wzór
y= -3x2+2x+1

a=-3 b=2 c=1
Najpierw zapiszmy wzór funkcji w postaci iloczynowej.
Obliczamy deltę
Δ=b2-4ac=(2)2-4*(-3)*(1)
Δ=4+12=16
=4

DELTA DODATNIA, DWA MIEJSCA ZEROWE
Przypomnijmy wzory na miejsca zerowe, gdy delta jest większa od 0
x1= x2=

x1= = =1
x2= = =

Podajmy wzór funkcji w postaci iloczynowej:
y= -3(x-1)(x+)

Napiszmy teraz wzór funkcji w postaci kanonicznej
Obliczmy p
p= = =
Obliczmy q na dwa sposoby
Najpierw obliczmy f(p), czyli do wzoru funkcji za podstawmy wartość p=
y= -3x2+2x+1
-3()2+2*()+1=-3*+ +1=++1=+1=1
q= 1
Teraz obliczmy q, ze wzoru q= = =
Wierzchołek paraboli to punkt P(;1)
Teraz zapiszmy postać kanoniczną
y=a(x-p)2+q
y=-3(x-)+1