Trygonometria zadania

Trygonometria zadania

Wstęp:
Z tego opracowania dowiesz się jak rozwiązywać przykładowe zadania z trygonometrii na podstawie poniższych przykładów.

Przykład 1:
Podaj długości wszystkich boków i miary wszystkich kątów trójkąta prostokątnego, wiedząc, że jeden z kątów tego trójkąta () ma miarę 30°, a bok na przeciwko tego kąta ma długość 10.

Mamy podane, że jest to trójkąt prostokątny, czyli jeden z jego kątów ma miarę 90°. Wiemy także, że drugi kąt ma miarę 30°. Suma miar kątów w trójkącie musi wynosić 180°. A zatem trzeci kąt musi mieć miarę: = 180° – (90° + 30°) = 60°. Zróbmy rysunek poglądowy:

Wiemy że sin 30° to 0,5. Wiemy także, że (w trójkącie prostokątnym) sinus to stosunek boku na przeciw kąta do przeciwprostokątnej tego trójkąta. Niech przeciwprostokątną naszego trójkąta będzie „c”, wówczas: sin 30° = 0,5 = , czyli c = 20. Pozostały bok („b”) możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:
102 + b2 = 202, po rozwiązaniu równania otrzymamy b = 10. Tym samym rozwiązaliśmy ten trójkąt: miary kątów: 90°,30°,60°. Długości boków: 20, 10, 10.

Przykład 2:
Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych (cos , tg , ctg ) kąta ostrego , jeśli sin = .

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: sin2 + cos2 = 1 (mając daną, że sin = równanie przybierze postać:)
()2 + cos2 = 1
1 – = cos2
cos2 =

Wynik ujemny odrzucamy, bo w poleceniu piszą, że jest kątem ostrym (czyli cos > 0), a zatem cos = . Obliczamy wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych. Wiemy, że tg = = = = . Wiemy także, że cotangens jest odwrotnością tangensa, czyli ctg = . Obliczyliśmy już wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych: cos = , tg = , a ctg = .

Przykład 3:
Wyznacz miarę kąta ostrego , jeśli . Następnie oblicz tg .

Najpierw uprośćmy sobie równanie: (przenieśmy sin2 na prawą stronę)
(Teraz z łatwością możemy dostrzec jedynkę trygonometryczną po prawej stronie równania)
(Dzielimy obustronnie przez )
cos = Cosinus (kąta ostrego alfa) przyjmuje wartość dla = 45°. Mamy już zatem policzoną wartość , więc teraz możemy wziąć się za drugą część zadania i obliczyć wartość tg :
tg = tg 45° = 1.
Odp: Kąt alfa ma miarę 45°, a tym samym tg = 1.

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jak radzić sobie z rozwiązywaniem przykładowych zadań z trygonometrii.