Twierdzenie Bezout

Aby dobrze zrozumieć to twierdzenie, warto przypomnieć sobie czym jest pierwiastek wielomianu.
W(a)=0, gdzie liczba a jest pierwiastkiem wielomianu

Twierdzenie Bezouta

Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) gdy wielomian W(x) jest podzielny przez x-a

Powyższe twierdzenie składa się z dwóch części, ponieważ ma postać równoważności. Zatem jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez x-a oraz gdy wielomian W(x) jest podzielny przez x-a, to liczba a na pewno jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

Z powyższych zdań możemy również wyciągnąć wniosek odwrotny. Jeżeli liczba a nie jest pierwiastkiem danego wielomianu, to ten wielomian z pewnością nie będzie podzielny przez x-a. Tutaj również możemy dostrzec drugą część – jeżeli dany wielomian nie jest podzielny przez x-a, to z pewnością liczba a nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.

przykład 1:

Sprawdź, czy liczba c=2 jest pierwiastkiem wielomianu:

Pierwszym i ostatnim krokiem jest podstawienie za x liczby 2. Zgodnie z definicją, jeżeli nasz wynik będzie równy 0 to liczba c=2 jest pierwiastkiem tego wielomianu, jeżeli wynik wyjdzie inny niż 0 to c=2 z pewnością nie będzie pierwiastkiem powyższego wielomianu.

Otrzymaliśmy 0, zatem możemy śmiało stwierdzić, że liczba 2 jest pierwiastkiem podanego wielomianu.

przykład 2:

Sprawdź, nie wykonując dzielenia, czy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian P(x).

Ponownie musimy odnieść się do definicji, aby dowiedzieć się czy wielomian jest podzielny przez x-a, musimy wiedzieć czy liczba a jest pierwiastkiem naszego wielomianu.

Aby zrobić to bez dzielenia musimy tak jak w przykładzie 1, podstawić za x nasze a.

Dwumian w definicji ma postać x-a, natomiast w P(x) zamiast minusa jest plus, dlatego musimy zauważyć, że a w tym wypadku będzie liczbą ujemną. x-(-a)=x+a
Zatem a, które musimy podstawić jest równe (-2)

Z obliczeń otrzymaliśmy 0, zatem wiemy już, że -2 jest pierwiastkiem tego wielomianu, co jest równoznaczne z tym, że W(x) jest podzielny przez P(x).

przykład 3:

Sprawdź, które liczby ze zbioru A={-1, ,3} są pierwiastkami wielomianu

jedynym krokiem jaki musimy wykonać, jest podstawienie za x każdej liczby należącej do zbioru A z osobna

wynik nie jest równy 0, zatem liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu

ta liczba również nie jest pierwiastkiem podanego wielomianu

liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)