Twierdzenie Bézouta

W dzisiejszym opracowaniu zajmiemy się tematem związanym z dzieleniem wielomianów. Wielomian to funkcja, w której przynajmniej jeden składnik (x) występuje w co najmniej trzeciej potędze. Gdyż jak wiemy, to funkcja kwadratowa posiada x w drugiej potędze.
Na początku powiemy sobie dwa, trzy słowa o TWIERDZENIU O RESZCIE. Brzmi ono następująco:
Reszta z dzielenia wielomianu W( x ) przez (x – p) wynosi W(p)
Przeanalizujmy to na kilku przykładach
Czy wielomian W jest podzielny przez dwumian q?

Aby rozwiązać ten przykład musimy najpierw określić, dla jakiej wartości x, dwumian q się wyzeruje (przyjmie wartość 0). Nastąpi to dla wartości 1, bo 0=x-1 -x=-1 x=1. Następnie znalezioną wartość podstawiamy do wielomianu W:

Otrzymaliśmy 0. Oznacza to, że dwumian q dzieli wielomian W. W każdym innym przypadku, gdy otrzymana wartość jest różna od 0, możemy postawić wniosek, że nie następuje podzielność dwumianu q przez wielomian W. Otrzymana wartość stanowi resztę dzielenia wielomianu przez dwumian q.

Twierdzenie Bézouta możemy napisać w następujący sposób:

|
Innymi słowami możemy powiedzieć, że wielomian W(x) jest podzielny przez (x-p) gdy W(p)=0. Z tego wynika, że p jest pierwiastkiem wielomianu W, gdy dwumian (x-p) dzieli wielomian W.

Przykład:

Czy q dzieli wymian W?

Na mocy twierdzenia Bézouta dwumian q dzieli wielomian W —> ( x – 1 ) | W( x )