Twierdzenie cosinusów

Twierdzenie cosinusów to twierdzenie często wykorzystywane w geometrii. Pozwala ono na obliczenie długości jednego z boków trójkąta przy znajomości dwóch pozostałych i kąta między nimi.
Dokładna definicja twierdzenia jest następująca: w dowolnym trójkącie, kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony cosinus kąta między nimi.

Używając oznaczeń z rysunku można zapisać to twierdzenie jako: . Dla pozostałych boków jest analogicznie: oraz .
Przeprowadzę teraz dowód tego twierdzenia i rozważę trzy przypadki:
1
W przypadku gdy cosinus tego kąta wynosi 0, czyli wystarczy udowodnić równość , która natychmiast wynika z twierdzenia Pitagorasa.
2
Gdy natomiast kąt przy wierzchołku A jest ostry, to z wierzchołka B prowadzę wysokość h do boku AC. Wówczas odcinek AC dzieli się na dwa o długościach x i b-x(jak pokazano na rysunku).
Wtedy , czyli . Stosując do dwóch uzyskanych trójkątów prostokątnych twierdzenie Pitagorasa otrzymuję, że Oraz Rozpisując pierwsze równanie i wstawiając do niego drugie oraz otrzymuję, że


, co kończy dowód twierdzenia cosinusów dla kąta ostrego.
3
Gdy kąt jest rozwarty, to z wierzchołka B opuszczam wysokość h, a kąt przyległy do kąta oznaczam . Wówczas używając twierdzenia Pitagorasa dla uzyskanych trójkątów prostokątnych otrzymuję, że Oraz .Ponadto , czyli . Rozpisując równość I podstawiając do niej pozostałe otrzymane równości uzyskuje kolejno:


(1)
Zauważam, że skoro kąty i są przyległe, to . Wykorzystując wzory redukcyjne dla kąta 180- otrzymuję: I podstawiając to do równości (1) wychodzi wzór na twierdzenie cosinusów, czyli to koniec dowodu.

Zadania wykorzystujące twierdzenie cosinusów:
1 Pewne dwa boki trójkąta mają długości 6 i 4, a kąt między nimi wynosi 60 stopni. Oblicz długość trzeciego boku.
Przyjmuję oznaczenia boków a,b,c, gdzie c jest bokiem szukanym.
Z tw. Cosinusów otrzymuję, że , czyli wyciągając pierwiastek z obu stron otrzymuję(po lewej stronie pomijam wartość bezwzględną, bo c jest dodatnie) . Z tablic odczytuję, że cosinus 60 stopni jest równy i podstawiając wszystkie wartości , co kończy rozwiązanie zadania.

2 Boki trójkąta mają długości 4,3 i . Oblicz miarę kąta leżącego naprzeciwko boku o długości .
Przyjmuję oznaczenie szukanego kąta jako , a danych boków 4,3, odpowiednio jako a,b,c. Wykorzystam twierdzenie Cosinusów i odpowiednio je przekształcając otrzymam wzór na szukany kąt:


= i z poprzedniego zadania wiem, że cosinus jest równy dla kąta o mierze 60 stopni, co kończy rozwiązanie zadania.

3 Suma długości pewnych dwóch boków trójkąta jest równa 4, a kąt między nimi ma miarę 120 stopni. Oblicz najmniejszą i największą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków danego trójkąta.
Niech a i b będą tymi bokami, których suma długości jest równa 4, a c trzecim bokiem. Wówczas z twierdzenia cosinusów otrzymuję, że = ( bo cosinus 120 stopni jest równy ). Wobec tego I podstawiając do tego, że a=4-b: =, czyli , ponieważ lewa strona jest dodatnia, to prawa także. Ponadto b jest mniejsze od 4, czyli dziedziną funkcji jest zbiór . Jej wykresem jest parabola o wierzchołkach skierowanych do góry i o wierzchołku w punkcie
Podsumowując suma kwadratów jest minimalna, gdy b=2 i jest ona wtedy równa (a=2, bo a+b=4), co kończy rozwiązanie zadania.

4 Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne pewnego trójkąta spełniają warunek , to jest on równoramienny.

Wzorem łączącym długość boku i kąta leżącego na przeciwko niego w trójkącie jest wzór na promień okręgu na nim opisanego: =.
Wobec tego i
Wykorzystując twierdzenie cosinusów otrzymuję po przekształceniach, że . Podstawiając otrzymane wartości do równania w treści zadania dostaję, że I kolejno przekształcając otrzymuje:
/
/
/-
0= , czyli , a ponieważ b i c są dodatnie jak długości boków, to b=c ,co kończy rozwiązanie zadania.

5 Udowodnij, że jeżeli są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta i zachodzi nierówność <, to <0
Skoro , to po podniesieniu do kwadratu otrzymuję , czyli , Oraz . Podstawiając otrzymane zależności do nierówności podanej w treści zadania i mnożąc ją obu stronnie przez dostaję, że <. Z twierdzenia cosinusów wiadomo, że I wstawiając to do ostatniej równości: < , czyli po odjęciu od obu stron kwadratów a i b otrzymuję > 0. Ponieważ wyrażenie jest dodatnie, to musi być ujemny, co kończy rozwiązanie zadania.

6 W trójkącie podane są długości dwóch boków 5 i 4 oraz kąt pomiędzy nimi ofierze 150 stopni. Oblicz długość promień okręgu opisanego na tym trójkącie wykorzystując podany kąt.
Przyjmuję następujące oznaczenia: a=5, b=4, =150 stopni i c jest bokiem o nieznanej długości.
Wzorem na promień okręgu opisanego na trójkącie wykorzystującym kąt jest:, gdzie c jest bokiem leżącym na przeciwko kąta. Bok ten można obiczyć z twierdzenia cosinusów. Ponieważ , Więc . Do obliczenia tego pierwiastka brakuje jeszcze wartości stopni. W tablicach sprawdzam, że jest on równy , czyli c= =. Wracając do wzoru i podstawiając do niego otrzymane wartości uzyskuję, że , co kończy rozwiązanie zadania.

Ciekawą własnością wynikającą z omawianego twierdzenia cosinusów jest to, że znająć długości wszystkich boków można obliczyć wszystkie kąty.

Ponadto jeżeli liczby x,y,z są długościami boków oraz kąty leżące naprzeciwko nich to odpowiednio i , to skoro w dowolnym trójkącie naprzeciw dłuższego boku znajduje się większy kąt, to . Wówczas jeżeli >0 to znaczy, że trójkąt jest ostrokątny. Gdy to znaczy, że jest on prostokątny. Natomiast gdy >0 to rozpatrywany trójkąt jest rozwartokątny.

Zadanie
Czy trójkąt o bokach długości a=4, b=5 i c=7 jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny?

rozwiązanie: Gdyby byłby on prostokątny, to kwadrat długości najdłuższego boku musiałby być równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych, ale 49 nie jest równe 41(wynika to z twierdzenia Pitagorasa). Wystarczy teraz sprawdzić czy jest on rozwartokątny, czy ostrokątny. Z twierdzenia cosinusów wynika, że =, a skoro <0 i , to kąt jest rozwartokątny, co kończy rozwiązanie zadania.