Twierdzenie Fermata

Mamy dwa twierdzenia Fermata:
Wielkie twierdzenie Fermata.
Małe twierdzenie Fermata.

Wielkie twierdzenie Fermata

Jeśli n > 2 to równanie Xn + Yn = Zn nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych X, Y, Z.
Prościej mówiąc.
a2 + b2 = c2 ———- Tutaj widzimy mamy zwykłe twierdzenie Pitagorasa. W nim n = 2, a twierdzenie Fermata mówi, że n > 2. Dlatego
żeby się ono sprawdziło bierzemy pod uwagę wszystkie n poza znanym twierdzeniem Pitagorasa.
Czyli:
a3 + b3 = c3
a4 + b4 = c4 itd. ——— Jakiekolwiek n by nie było ( poza 2 i wszystkimi liczbami naturalnymi od niej mniejszymi oczywiście) nie znajdziemy
takich liczb naturalnych, które spełniłoby to równanie.
Podsumowując:
Nie znajdziesz liczby n, poza 2, która spełniłaby równanie an + bn = cn.

Małe twierdzenie Fermata
Jeżeli p jest dowolną liczba pierwszą, a jest dowolną liczbą całkowitą, to ap przystaje do a (modp) – liczba p dzieli różnicę liczb a. Inaczej
p |ap-a.
Prościej:
Jeśli mamy jakiś ciąg np. kolorowych guzików. Na początku mamy jeden żółty guzik. Potem obok niego kładziemy jeden czerwony. Liczba możliwych kombinacji w jakich możemy ułożyć guziki to 4. Do naszych kombinacji nie wliczamy możliwości pojedynczego guzika. Zwróćmy uwagę na to, że 2 jest liczbą pierwszą.
1 2 3 4
OO OO O
O
Jeśli obok nich dołożymy jeszcze zielony guzik, liczba kombinacji, jaką będziemy mogli wykonać, wzrośnie itd.
Z tego możemy sformułować taki wniosek:

Mając a kolorów tworząc z nich ciągi o długości p, gdzie p to liczba pierwsza, to liczba możliwych ciągów to ap -a.

Przyrównajmy ten wniosek do naszego przykładu:
a to nasze kolory czyli 2
p to długość ciągu czyli również 2
p ma być liczbą pierwszą. Mamy 2, które oczywiście jest liczba pierwszą.
ap to 22 z czego wychodzi nam ile kombinacji będziemy mogli zrobić czyli 4.
-a to objęta możliwość pojedynczego guzika. Czyli np. samego żółtego.
Stąd widzimy, że wszystko zgadza się z naszym wnioskiem.

Dlaczego jednak bierzemy pod uwagę tylko liczby pierwsze?
Jeśli weźmiemy np. 6 wyjdą nam dwie takie same kombinacje po 3 guziki. Ponieważ 6 możemy podzielić przez 2.