Twierdzenie o dwusiecznej

Twierdzenie o dwusiecznej

Dwusieczna jest to linia dzieląca figurę geometryczną w miejscu kąta na dwie figury geometryczne. Dwusieczna dzieli również ten kąt na dwa identyczne mniejsze kąty.

Dwusieczna w niektórych przypadkach, również odpowiada za bycie przekątną tak jak to ma miejsce np. w kwadracie, czy też w rombie.
Ma to miejsce również w każdej figurze foremnej, a są nimi między innymi:
Trójkąt równoboczny, pięciokąt foremny, sześciokąt foremny, siedmiokąt foremny itd.

Skoro omówiliśmy czym jest dwusieczna, możemy przejść do twierdzenia o dwusiecznej trójkąta(ponieważ właśnie to twierdzenie dotyczy tej figury)

Dwusieczna trójkąta(oznaczona zieloną linią) dzieli trójkąt ABC, na dwa mniejsze trójkąty(ACD, ABD) oraz bok BC tego trójkąta na odcinki c i d o długościach zgodnymi z równaniem:

c:a=d:b

Sprawdźmy na przykładzie trójkąta równobocznego, czy twierdzenie o dwusiecznej trójkąta, ma rzeczywiste odzwierciedlenie w zadaniach.

Przykład 1

W trójkącie równobocznym ABC o boku 12, wyprowadzono z jednego z jego wierzchołków dwusieczną h na jeden z jego boków. Oblicz boki d i e oraz na podstawie tego sprawdź prawidłowość działania twierdzenia o dwusiecznej trójkąta.

Jako iż jest to trójkąt równoboczny, nie ma znaczenia z którego wierzchołka wyprowadzimy dwusieczną, więc możemy go wybrać dowolnie.(W trójkącie równobocznym dwusieczna jest jednocześnie wysokością tego trójkąta). Dwusieczna ta dzieli trójkąt równoramienny na dwa identyczne trójkąty, co oznacza że Trójkąt ABC został podzielony równo w połowie. W takim razie podstawa trójkąta również jest podzielona idealnie na pół.

d=e

c=d+e
c=2d
c=2e

c=12
2d=12/:2
d=6

c=12
2e=12/:2
e=6

boki d oraz e mają długość 6.

Skoro znamy już miary długości boków, możemy teraz sprawdzić prawidłowość działania twierdzenia o dwusiecznej trójkąta.

dane:
a=12
b=12
d=6
e=6

d:a=e:b

12:6=12:6
2=2

Twierdzenie o dwusiecznej trójkąta zgadza się, ponieważ po obu stronach równania posiadamy identyczne liczby.

Przykład 2

Z trójkąta ABC o kątach:
Przy wierzchołku A-20°
Przy wierzchołku B-50°
Przy wierzchołku C-110°

wyprowadzono dwusieczną D wychodzącą z kąta przy wierzchołku B
Oblicz na trójkąty o jakich miarach kątów został podzielony trójkąt ABC.

kąt przy wierzchołku B=50°

Dwusieczna dzieli kąt na 2 jednakowe kąty, więc kąt przy wierzchołku B został podzielony na 2 kąty B’=25°.

Dwusieczna dzieli trójkąt ABC na trójkąty:

AB’D oraz B’CD’

obliczmy miary kątów dla trójkąta AB’D:

A-20°
B’=25°
D=?

Suma miar wszystkich kątów w trójkącie wynosi 180° więc:

A+B’+D=180°
20°+25°+D=180°
45°+D=180°/-45°
D=135°

miary trójkąta B’CD’:

B’=25°
C=110°
D’=?

Suma miar wszystkich kątów w trójkącie wynosi 180° więc:

B’+C+D’=180°
25°+110°+D’=180°
135°+D’=180°/-135°
D’=45°

Trójkąt ABC został podzielony na trójkąty AB’D oraz B’CD’.

Miary kątów trójkąta AB’D mają: 20° 25° 135°

Miary kątów trójkąta B’CD’ mają: 25° 110° 45°

Dziękuję za uwagę .