Twierdzenie sinusów

Twierdzenie sinusów

Wstęp:
W tym opracowaniu poznasz definicję twierdzenia sinusów oraz nauczysz się wykorzystywać te twierdzenie w praktyce analizując kilka przykładów.

Twierdzenie sinusów:
Twierdzenie sinusów brzmi następująco: w dowolnym trójkącie stosunek długości dowolnego boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Dla lepszego zrozumienia tego twierdzenia, a także dla lepszego zobrazowania występujących tu zależności warto przeanalizować poniższy rysunek:

Gdzie:
a, b oraz c to długości boków dowolnego trójkąta
to miary kątów leżących naprzeciwko boków trójkąta (odpowiednio boków a, b, c)
R to promień okręgu opisanego na trójkącie

Przy takich oznaczeniach twierdzenie sinusów będzie miało postać:

Wartości sinusów poszczególnych kątów często podaje się w przybliżeniu, korzystając z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:

Twierdzenie sinusów przydaje się m.in do rozwiązywania trójkątów, czyli wyznaczania długości wszystkich boków trójkąta oraz wszystkich miar jego kątów. Przećwiczmy teraz rozwiązywanie zadań z twierdzeniem sinusów.

Przykład 1:
Jest dany pewien trójkąt, który ma kąty o mierze 60° i 50°. Bok zawarty między tymi kątami ma długość 5 cm. Rozwiąż ten trójkąt (długości boków zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku).

Aby lepiej zobrazować sobie sytuację opisaną powyżej szkicujemy rysunek pomocniczy:

Korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie zawsze jest równa 180° możemy obliczyć miarę trzeciego kąta (alfa):
+ 60° + 50° = 180° (upraszczamy lewą stronę równania)
+ 110° = 180° (przenosimy 110° na prawą stronę)
= 70°
Teraz mając już wszystkie kąty możemy skorzystać z twierdzenia sinusów, aby obliczyć długości brakujących boków trójkąta:

Żeby policzyć „x” oraz „y” musimy jeszcze odczytać ile wynosi w przybliżeniu sin 50°, sin 60° oraz sin 70°z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych:
sin 50° 0,7660
sin 60° 0,8660
sin 70° 0,9397
Liczymy „x” rozwiązując proste równanie:
(mnożymy obustronnie razy sin 50°)
(podajemy przybliżoną wartość „x”)
= 4,08 cm
Musimy jeszcze tylko policzyć ile wynosi „y”:
(mnożymy obustronnie razy sin 60°)
(podajemy przybliżoną wartość „y”)
= 4,61 cm
A zatem nasz trójkąt ma kąty a mierze 50°, 60° oraz 70°, a jego boki mają długości 5 cm; 4,08 cm; 4,61 cm.

Przykład 2:
Dany jest trójkąt rozwartokątny ( > 90°), który ma boki długości 7 cm oraz 8 cm. Jeden z kątów tego trójkąta ma miarę 20° (patrz rysunek obok). Rozwiąż ten trójkąt (długości boków zaokrąglij do drugiego miejsca po przecinku).

Korzystając z twierdzenia sinusów możemy napisać następujące zależności:

Najpierw obliczamy jaką miarę ma kąt . W tym celu rozwiązujemy proste równanie:
(mnożymy na skos)
(dzielimy obustronnie przez 7 cm)
(obliczamy przybliżoną wartość sin)
0,39
Odczytujemy z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych dla jakiego kąta ostrego „beta” sin = 0,39. Kąt „beta” będzie miał miarę ok. 23°, bo sin 23° 0,3907. A zatem 23°.
Mając podane miary dwóch kątów w trójkącie możemy obliczyć miarę trzeciego kąta korzystając z tego, że suma miar kątów w trójkącie jest zawsze równa 180°, czyli:
+ 20° + 23° = 180° (upraszczamy lewą stronę równania)
+ 43° = 180° (przenosimy 43° na prawą stronę)
= 137°
Teraz mając już obliczony kąt możemy policzyć długość brakującego boku trójkąta, korzystając z twierdzenia sinusów:
(za „” podstawiamy 137°)
(mnożymy obustronnie razy sin 137°)
(obliczamy przybliżoną wartość „x”, odczytując uprzednio z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych ile wynosi przybliżona wartość sin 20° oraz sin 137°)
13,96 cm.
A zatem nasz trójkąt ma kąty a mierze 20°, 23° oraz 137°, a jego boki mają długości 8 cm; 7 cm; 13,96 cm.

Przykład 3:
Oblicz pole koła, w którym wpisany jest trójkąt, jeśli jeden z boków tego trójkąta ma długość 10 cm, a kąt leżący naprzeciwko tego boku ma miarę 150°.

Wiemy, że stosunek długości dowolnego boku trójkąta do sinusa kąta leżącego naprzeciwko tego boku jest równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie, czyli:

Obliczmy jednak najpierw ile wynosi sin 150° (korzystając ze wzorów redukcyjnych):
sin 150° = sin (90° + 60°) = cos 60° = 0,5.
Teraz, wiedząc ile wynosi cos 60°, obliczamy długość promienia koła, w którym wpisany jest nasz trójkąt:
(mnożymy obustronnie razy 0,5)
R = 10 cm
Mając podany promień możemy teraz obliczyć pole koła:
P = πR2 = π (10 cm)2 = 100π cm2.
A zatem pole naszego koła wynosi 100π cm2.

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jaka jest definicja twierdzenia sinusów oraz poznałeś pewne zależności związane z tym twierdzeniem. Nauczyłeś się także wykorzystywać te twierdzenie do obliczania zadań z planimetrii.