Opracowanie:
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów i cosinusów
Twierdzenie sinusów: Dla dowolnego trójkąta zachodzą równości:
Przeprowadźmy dowody dla kąta , dla pozostałych kątów rozumowanie będzie przebiegać analogicznie.
Dowód dla < 90°. Skonstruujmy punkt A’ taki, żeby odcinek CA’ był średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC. Kąty CA’B i CAB są oparte na tym samym łuku (BC), zatem ich miary są równe. Natomiast kąt A’BC jest oparty na średnicy okręgu (CA’), więc jego miara wynosi 90°. Otrzymujemy zatem:
co kończy dowód.
Dowód dla ≥ 90°. Skonstruujmy punkt A’ taki, żeby odcinek CA’ był średnicą okręgu opisanego na trójkącie ABC. Utworzył się w ten sposób czworokąt ABA’C, który jest wpisany w okrąg. Korzystamy z twierdzenia, które mówi nam, że czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, kiedy suma jego naprzeciwległych kątów jest równa 180°, zatem, jeżeli kąt BAC = , to
kąt BA’C = 180°-. Natomiast kąt A’BC jest oparty na średnicy okręgu (CA’), więc jego miara wynosi 90°.
Zauważmy, że otrzymujemy równanie:
Korzystając ze wzorów redukcyjnych mamy, że: , zatem:
co kończy dowód.
Dowód dla < 90°
Dowód dla ≥ 90°
Twierdzenie cosinusów: Dla dowolnego trójkąta zachodzi równość:
Dowód. Jako C’ oznaczmy spodek wysokości z wierzchołka C. Oznaczmy długość odcinka CC’ jako h oraz długość odcinka AC’ jako x. Zauważmy, że mamy trzy róże możliwości położenia punktu C’ na prostej AB, więc dla każdej z tych możliwości wypiszmy układ równań (pierwsze dwa równania wynikają z twierdzenia Pitagorasa, trzecie równanie z wartości ):
1.
2.
3.
1.
2.
3.
co kończy dowód.