Twierdzenie Stolza

Twierdzenie Stolza

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się czym jest twierdzenie Stolza.

Twierdzenie Stolza – definicja:
Załóżmy, że mamy podane dwa ciągi: an oraz bn, przy czym i (n N), a także ciąg bn jest (przynajmniej od pewnego momentu) rosnący. Wówczas jeśli istnieje granica (skończona bądź nieskończona) postaci: , to wtedy prawdziwa jest równość:
=
Dzięki twierdzeniu Stolza można łatwo obliczać granice ciągów, w których (tradycyjnymi metodami) wyszedłby nam symbol nieoznaczony postaci [].

Twierdzenie Stolza – przykład:
Spróbujmy obliczyć granicę ciągu postaci: an = (). Zarówno licznik podanego ułamka, jak i jego mianownik dążą do nieskończoności (wychodzi nam symbol nieoznaczony postaci []). Możemy zatem skorzystać z twierdzenia Stolza, sprawdzamy więc czy istnieje granica :
= = = = = = =
Czyli istnieje granica i wynosi ona . A skoro tak to na mocy twierdzenia Stolza:
= = .
Odp: Granica podanego ciągu () wynosi .

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się czym jest twierdzenie Stolza.