Twierdzenie Talesa

TWIERDZENIE TALESA
Omawianie tego tematu zaczniemy od dwóch ćwiczeń, które pomogą ci samodzielnie odkryć, czym jest właściwie twierdzenie Talesa.

Ćwiczenie 1:
Przyjrzyj się rysunkowi i wiedząc, że czerwone proste są równoległe, uzupełnij luki w tekście poniżej:

Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ……. na mocy zasady ……., ……., …… ponieważ:



Z czego wynika między innymi następująca proporcja:

Z czego wynika między innymi następująca proporcja:
Zwróć uwagę, że możemy rozpisać jako sumę odcinków
Tak samo możemy rozpisać jako
W takim razie proporcję możemy też zapisać jako

Rozwiązanie:
Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta ADE na mocy zasady kąt, kąt, kąt ponieważ:



Z czego wynika między innymi następująca proporcja:

Zwróć uwagę, że możemy rozpisać jako sumę odcinków
Tak samo możemy rozpisać jako
W takim razie proporcję możemy też zapisać jako .

Przeanalizujmy od jeszcze raz to zadanie. Od początku wiedzieliśmy, że z podobieństwa trójkątów ABC i ADE prawdziwa jest proporcja:
Możemy obustronnie pomnożyć mianowniki, otrzymując .
W takim razie, po podzieleniu przez i otrzymujemy
Zwróćmy teraz uwagę, na ostatnią linijkę rozwiązania ćwiczenia 1 – doszliśmy do równości .
Jeżeli wymnożymy obustronnie mianowniki, otrzymamy:


Obustronnie odejmujemy (redukujemy) powtarzające się wyrazy i otrzymujemy:


Co możemy zapisać jako – zaraz się okaże, dlaczego – kluczową proporcję:

Teraz popatrzmy na dwie pogrubione nierówności i wyznaczmy z każdej z nich :
Z pierwszej:
Z drugiej:
Przyrównujemy do siebie prawe strony obydwu równości i otrzymujemy
Co, po odpowiednich przekształceniach daje proporcję:.
Trzy fioletowe równości możemy również połączyć w jedną, potrójną równość:

Proporcja, którą właśnie uzyskaliśmy, nazywa się Twierdzeniem Talesa.

Twierdzenie Talesa:
„Jeżeli dany jest kąt, którego ramiona są przecięte prostymi równoległymi, to odcinki powstałe w wyniku przecięcia tych prostych na jednym ramieniu kąta, są proporcjonalne do odpowiednich odcinków z drugiego ramienia kąta.”

Dokładnie tak! Na naszym rysunku jedno ramię kąta zawiera odcinek , a drugie: .
Odcinek odpowiada odcinkowi – zaczynają się w wierzchołku kąta i kończą w punktach przecięcia ramion z prostą znajdującą się bliżej wierzchołka.
Natomiast odcinek odpowiada odcinkowi . Obydwa zaczynają się w przecięciu ramion z prostą bliżej kąta , a kończą w przecięciu z drugą (bardziej oddaloną od wierzchołka) prostą.
Odcinki oraz też odpowiadają sobie nawzajem, bo zaczynają się w wierzchołku kąta i kończą na przecięciu z bardziej oddaloną prostą.
Po tej śmiertelnej dawce teoretycznych rozważań, przyszedł czas na trochę praktyki:

Ćwiczenie 2:
Oblicz długości odcinków oznaczonych dla podanych danych:

a)
b)
c)

Rozwiązania i odpowiedzi:
(ogólna podpowiedź: do „zobaczenia” twierdzenia Talesa bardzo pomoże ci podpisanie na rysunku długości znanych odcinków i zaznaczenie tego, którego długość mamy obliczyć)
a) Podpiszmy odcinki na rysunku:

Widzimy, że odcinek odpowiada odcinkowi , a odcinek odpowiada , który mamy obliczyć.
Układamy proporcję:
Podstawiamy długości odcinków:
Odpowiedź:
b) ;
c) Zacznijmy od podpisania danych na rysunku:

Teraz możemy ułożyć proporcję:
(pamiętaj, że czerwone odcinki i też są proporcjonalne; wynika to z pokazanego przez nas na początku podobieństwa trójkątów ABC i ADE)
Podstawiamy dane do ułożonej proporcji:
Odpowiedź:

Mam nadzieję, że zgodzisz się, że zastosowanie twierdzenia Talesa w praktyce nie jest niczym szczególnie trudnym ani nowym – opiera się na rozwiązywaniu proporcji, które dobrze znamy z innych zadań geometrycznych.
Co ciekawe, działa ono nie tylko wtedy, gdy proste równoległe przecinają ramiona jednego kąta. Prawdziwe jest również wtedy, gdy równoległe proste przecinają ramiona kątów wierzchołkowych.

Ćwiczenie 1’:
Przeanalizuj rysunek obok (wiedząc, że czerwone proste są równoległe) i uzupełnij luki w tekście:

Kąty i mają te same miary. Wynika to z tego, że są to kąty …………………. .
Zachodzą też równości: oraz ponieważ są to kąty parami ……………. .
W takim razie trójkąty ABC i ……… są podobne, na mocy zasady (kąt, kąt, kąt) – czyli dla nich również będzie zachodzić twierdzenie …………, czyli prawdziwa będzie równość:

Rozwiązanie:
Kąty i mają te same miary. Wynika to z tego, że są to kąty wierzchołkowe.
Zachodzą też równości: oraz ponieważ są to kąty parami naprzemianległe.
W takim razie trójkąty ABC i ADE są podobne, na mocy zasady (kąt, kąt, kąt) – czyli dla nich również będzie zachodzić twierdzenie Talesa, czyli prawdziwa będzie równość:

Ćwiczenie 3:
Oblicz długości odcinków oznaczonych dla podanych danych.

a)
b)
c)
Rozwiązania i odpowiedzi:
a) Zaczynamy od podpisania danych na rysunku:

Układamy proporcję . Podstawiamy
Odpowiedź:
b) Odpowiedź:
c) Odpowiedź: