Twierdzenie Talesa

Twierdzenie Talesa

W tym opracowaniu dowiesz się:

Czym jest Twierdzenie Talesa.
Jakie są wzory na Twierdzenie Talesa.
Do czego przydatne jest Twierdzenie Talesa.
W jaki sposób dowieść, że Twierdzenie Talesa jest prawdziwe.
W jaki sposób wykonywać zadania dotyczące Twierdzenia Talesa.
Czym jest Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa.
W jaki sposób wykonywać zadania dotyczące Twierdzenia odwrotnego do Twierdzenia Talesa.

1. Czym jest Twierdzenie Talesa?

Twierdzenie Talesa jest to twierdzenie, którego treść dotyczy zależności odcinków dla dowolnego kąta, który został przecięty przez dwie równoległe do siebie proste. Dokładniej mówiąc Twierdzenie Talesa jest to twierdzenie, które mówi o o proporcjach jakie występują na odcinkach 1 ramienia w stosunku do 2 ramienia tego kąta.

2. Jakie są wzory na Twierdzenie Talesa?

Dla kąta o wierzchołku E, który został przecięty dwoma równoległymi do siebie odcinkami AB oraz CD, wzory na Twierdzenie Talesa wygląda następująco:

Dla kątów do siebie naprzemianległych o wspólnym wierzchołku E przeciętymi dwoma równoległymi do siebie odcinkami AB oraz CD, wzór na Twierdzenie Talesa wygląda następująco:

3. Do czego przydatne jest Twierdzenie Talesa?

Dzięki wykorzystaniu Twierdzenia Talesa jesteśmy w stanie obliczyć jaką długość mają odcinki przecięte przez proste równoległe.

4. W jaki sposób dowieść, że Twierdzenie Talesa jest prawdziwe?

Poniżej wytłumaczę dlaczego Twierdzenie Talesa jest prawdziwe.

AB oraz CD są prostymi do siebie równoległymi. Zwróćmy w tym momencie uwagę na dwa poniżej zaznaczone trójkąty EBA oraz BDA :

Trójkąty te mają wspólną wysokość, więc:

Następnie zwróćmy uwagę na wcześniej wspomniany trójkąt EBA oraz trójkąt ABC:

Oba te trójkąty są trójkątami prostokątnymi, a ich wspólne ramie znajduje się przy ich kącie prostym, co oznacza że mają one wspólną wysokość, więc:

Teraz nałóżmy na siebie oba trójkąty ABC oraz BDA.

Zauważmy, że mają one wspólną wysokość c oraz mają wspólny bok, co oznacza że mają one identyczne pola:

Po przedstawieniu powyższych trójkątów i ich zależnościami między nimi dochodzimy do wniosku, że:

oraz

W powyższy sposób dowiedliśmy, że Twierdzenie Talesa jest prawdziwe.

5. W jaki sposób wykonywać zadania dotyczące Twierdzenia Talesa?

Poniżej przedstawię kilka zadań z wykorzystaniem Twierdzenia Talesa, które rozwiąże krok po kroku, dzięki czemu zrozumienie Twierdzenia Talesa będzie prostsze a wcześniejsze definicje i wzory będą dużo czytelniejsze.

Zadanie 1:

W pewnym mieście dwie ulice mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Oblicz jaką długość ma odcinek ulicy AC wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

EA=8
EB=6
AC=x
BD=12
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

Odpowiedź: Odcinek AC ma długość .

Zadanie 2:

W pewnym mieście dwie ulice EC oraz ED mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Oblicz jaką długość ma odcinek ulicy BD wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

EA=4
EB=7
AC=10
BD=x
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

/

Odpowiedź: Odcinek BD ma długość .

Zadanie 3:

W pewnym mieście dwie ulice EC oraz ED mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Oblicz jaką długość ma odcinek ulicy EB wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

EA=12
EB=x
AC=10
BD=8
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

/

Odpowiedź: Odcinek EB ma długość .

Zadanie 4:

W pewnym mieście dwie ulice EC oraz ED mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Oblicz jaką długość ma odcinek ulicy EA wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

EA=x
EB=5
AC=10
BD=4
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

Odpowiedź: Odcinek EA ma długość .

Zadanie 5:

W pewnym mieście dwie ulice GE oraz GF mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Oblicz jaką długość ma odcinek ulicy BD wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

GA=2
GB=3
AC=3
BD=x
CE=4
DF=6
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

/

Odpowiedź: Odcinek BD ma długość .

Zadanie 6

W pewnym mieście dwie ulice GE oraz GF mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Oblicz jaką długość mają odcinki ulic GA i DF wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

GA=x
GB=8
AC=5
BD=7
CE=8
DF=y
x=?
y=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

/

/

Odpowiedź: Odcinek GA ma długość , a odcinek DF ma długość .

WAŻNE!

Od tej pory wzór na Twierdzenie Talesa będzie wyglądał inaczej, ponieważ proste się przecinają zamiast zaczynać w jednym punkcie.

Zadanie 7

W pewnym mieście dwie ulice przecinają się pod pewnym kątem. Oblicz długość odcinka ulicy EC wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

AE=2
BE=3
EC=x
ED=6
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

/

Odpowiedź: Odcinek EC ma długość .

Zadanie 8

W pewnym mieście dwie ulice przecinają się pod pewnym kątem. Oblicz długość odcinka ulicy AE wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

AE=x
BE=5
EC=12
ED=7
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

Odpowiedź: Odcinek AE ma długość .

Zadanie 9

W pewnym mieście dwie ulice przecinają się pod pewnym kątem. Oblicz długość odcinka ulicy BE wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

AE=2
BE=x
EC=9
ED=10
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

/

Odpowiedź: Odcinek BE ma długość .

Zadanie 10

W pewnym mieście dwie ulice przecinają się pod pewnym kątem. Oblicz długość odcinka ulicy ED wiedząc, że ulice i ich długości wyglądają następująco:

WAŻNE!

Proste zaznaczone na czerwono są wobec siebie równoległe

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane i szukane:

AE=5
BE=4
EC=20
ED=x
x=?

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

/

Odpowiedź: Odcinek ED ma długość .

6. Czym jest Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa?

Twierdzenie odwrotne do Twierdzenia Talesa jest to twierdzenie, które dotyczy prostych przecinających ramiona kąta. Jeśli iloraz odcinków znajdujących się po lewej stronie jednej z prostych będzie równy ilorazowi odcinków znajdujących się po prawej stronie tej samej prostej to oznacza to, że proste te są do siebie równoległe.

Jeśli to proste AB oraz CD są do siebie równoległe.

7. W jaki sposób wykonywać zadania dotyczące Twierdzenia odwrotnego do Twierdzenia Talesa?

Poniżej przedstawię kilka zadań z wykorzystaniem Twierdzenia Talesa, dzięki któremu sprawdzimy czy proste przecinające ramiona kąta są do siebie równoległe, co również nazywane jest twierdzeniem odwrotnym do Twierdzenia Talesa.

Zadanie 1:

W pewnym mieście dwie ulice EC oraz ED mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Na dodatek obie te ulice przecinają dwie inne ulice AB oraz CD. Sprawdź czy ulice AB oraz CD leżą równolegle wobec siebie wiedząc, że ulice EC oraz ED wraz z ich długościami wyglądają następująco:

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

EA=6
EB=8
AC=10,5
BD=14

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy czy proste są do siebie równoległe sprowadzając obie liczby do wspólnego mianownika:

Odpowiedź: Ulice AB oraz CD są do siebie równoległe.

Zadanie 2:

W pewnym mieście dwie ulice EC oraz ED mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Na dodatek obie te ulice przecinają dwie inne ulice AB oraz CD. Sprawdź czy ulice AB oraz CD leżą równolegle wobec siebie wiedząc, że ulice EC oraz ED wraz z ich długościami wyglądają następująco:

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

EA=3
EB=5
AC=6
BD=9

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy czy proste są do siebie równoległe sprowadzając obie liczby do wspólnego mianownika:

Odpowiedź: Ulice AB oraz CD nie są do siebie równoległe.

Zadanie 3:

W pewnym mieście dwie ulice EC oraz ED mają swój początek i są one wobec siebie położone pod pewnym kątem. Na dodatek obie te ulice przecinają dwie inne ulice AB oraz CD. Sprawdź czy ulice AB oraz CD leżą równolegle wobec siebie wiedząc, że ulice EC oraz ED wraz z ich długościami wyglądają następująco:

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

EA=10
EB=15
AC=7
BD=12

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy czy proste są do siebie równoległe sprowadzając obie liczby do wspólnego mianownika:

Odpowiedź: Ulice AB oraz CD nie są do siebie równoległe.

Zadanie 4:

W pewnym mieście dwie ulice przecinają się pod pewnym kątem. Na dodatek obie te ulice są przecięte przez 2 inne ulice AB oraz CD. Sprawdź czy ulice AB i CD leżą równolegle wobec siebie wiedząc, że ulice EC oraz ED wraz z ich długościami wyglądają następująco:

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

AE=6
BE=9
EC=3
ED=2

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy czy proste są do siebie równoległe sprowadzając obie liczby do wspólnego mianownika:

Odpowiedź: Ulice AB oraz CD są do siebie równoległe.

Zadanie 5:

W pewnym mieście dwie ulice przecinają się pod pewnym kątem. Na dodatek obie te ulice są przecięte przez 2 inne ulice AB oraz CD. Sprawdź czy ulice AB i CD leżą równolegle wobec siebie wiedząc, że ulice EC oraz ED wraz z ich długościami wyglądają następująco:

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

AE=16
BE=14
EC=7
ED=8

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy czy proste są do siebie równoległe sprowadzając obie liczby do wspólnego mianownika:

Odpowiedź: Ulice AB oraz CD są do siebie równoległe.

Zadanie 6:

W pewnym mieście dwie ulice przecinają się pod pewnym kątem. Na dodatek obie te ulice są przecięte przez 2 inne ulice AB oraz CD. Sprawdź czy ulice AB i CD leżą równolegle wobec siebie wiedząc, że ulice EC oraz ED wraz z ich długościami wyglądają następująco:

Rozwiązanie:

Krok 1: Przedstawiamy dane:

AE=6
BE=5
EC=3
ED=4

Krok 2: Przedstawiamy wzór na Twierdzenie Talesa:

Krok 3: Podstawiamy wartości do wzoru:

Krok 4: Sprawdzamy czy proste są do siebie równoległe sprowadzając obie liczby do wspólnego mianownika:

Odpowiedź: Ulice AB oraz CD nie są do siebie równoległe.

Dziękuję za uwagę.