Układ współrzędnych
Co to jest?
Układ współrzędnych to układ dwóch prostych (osi) prostopadłych do siebie w punkcie 0 na obu osiach.
Oś odciętych nazywamy osią x inaczej OX i jest pozioma
Oś rzędnych nazywamy osią y inaczej OY i jest pionowa
Zbiór x nazywamy zbiorem argumentów, inaczej dziedziną funkcji.
Zbiór y nazywamy zbiorem wartości, inaczej przeciwdziedziną funkcji.
W układzie współrzędnych możemy zapisać punkty (x,y) i funkcje, np. y = x + 2
W funkcjach y możemy zapisać jako f(x), g(x) itd.
Podział układu współrzędnych na ćwiartki
Osie dzielą układ na 4 części. Nazywamy je ćwiartkami i oznaczamy tak jak poniżej
Jak wyznaczyć punkt w układzie współrzędnych?
Wyznaczając punkt zapisujemy wartości na której wysokości znajdujemy dany punkt (x,y) – tak jak poniżej
Jak zapisać funkcję w układzie współrzędnych?
Za przykład weźmy funkcję liniową y = 2x + 3
Najpierw wyznaczamy wartości (y) dla kilku argumentów (x)
x
|
|
0
|
1
|
2
|
y
|
0 + 3 = 3
|
2 + 3 = 5
|
4 + 3 = 7
|
Zaznaczamy te punkty na wykresie
Warto zauważyć, że wyraz wolny (w funkcji liniowej jest nim b, gdy y = ax +b) to punkt przecięcia osi OY
Następnie łączymy te punkty w linii prostej i przedłużamy prostą, gdyż to nie jest odcinek
Oprócz punktu przecięcia osi OY (wyrazu wolnego) możemy wyznaczyć także punkt przecięcia osi OX.
Możemy odczytać go z wykresu lub podstawić 0 pod wartość funkcji:
0 = 2x +3
2x = – 3
x = –
Taki punkt nazywamy miejscem zerowym.
Monotoniczność funkcji w układzie współrzędnych
Funkcja może być stała, rosnąca i malejąc (może być też zmienna, czyli zmieniająca monotoniczność w przedziałach)
Stała to taka, która ma taką samą wartość dla wszystkich argumentów (jest prostą równoległą do osi OX)
Rosnąca to taka, której wartość rośnie razem z argumentami. (Na rysunku powyżej)
Malejąca to taka, której wartość maleje ze wzrostem argumentów.
Monotoniczność funkcji można wyznaczyć patrząc na wykres, np. czy po prawej stronie jest wyżej niż po lewej lub wyznaczając wartości funkcji dla co najmniej dwóch argumentów i porównując, czy większy argument ma mniejszą, większą, czy taką samą wartość.
Układ równań
W jakim celu wykorzystujemy układ równań?
Jeżeli posiadamy dwie lub więcej niewiadomych liczb zależnych od siebie możemy ustalić ich wartość.
Jakie są rodzaje układów równań?
układ oznaczony – to taki, w którym da się wyznaczyć konkretną parę liczb, np.:
Metody algebraiczne:
metoda podstawiania
3x – 2y = 4
y + 4x = 9
3x – 2y = 4
y = 9 – 4x
3x – 18 + 8x = 4
y = 9 – 4x
11x = 22
y = 9 – 4x
x = 2
y = 1
metoda przeciwnych współczynników
3x – 2y = 4
y + 4x = 9 / 2
3x – 2y = 4
2y + 8x = 18
————————–
11x = 22
x = 2
y + 4(2) = 9
x = 2
y = 1
Metoda graficzna:
3x – 2y = 4
y + 4x = 9
3x – 4 = 2y
y = 9 – 4x
y = x – 2
y = 9 – 4x
Na wykresie proste przecinają się w jednym punkcie
Układ nieoznaczony (tożsamościowy) – ma nieskończenie wiele rozwiązań (np. 0 = 0), nie da się wyznaczyć konkretnych liczb, np.:
Metody algebraiczne:
metoda podstawiania
3x – 2y = 4
4y – 6x = -8
2y = 3x – 4
4y – 6x = -8
y = x – 2
4y – 6x = -8
y = x – 2
6x -8 – 6x = -8
y = x – 2
-8 = -8 => 0 = 8 – 8 => 0 = 0
metoda przeciwnych współczynników
3x – 2y = 4 / 2
4y – 6x = -8
6x – 4y = 8
4y – 6x = -8
———————–
0 = 0
Metoda graficzna:
3x – 2y = 4
4y – 6x = -8
3x – 4 = 2y
4y = -8 + 6x
y = x – 2
y = x – 2
W układzie nieokreślonym funkcje są takie same i mają nieskończenie wiele wspólnych punktów
Układ sprzeczny – nie mający rozwiązań, np.:
Metody algebraiczne:
metoda podstawiania
3x – 2y = 4
6x – 4y = 6
3x – 2y = 4
6x = 6 + 4y
3x – 2y = 4
x = 1 + y
3(1 + y) – 2y = 4
x = 1 + y
3 + 2y – 2y = 4
x = 1 + y
0 = 1
x = 1 + y
metoda przeciwnych współczynników
3x – 2y = 4 / (-2)
6x – 4y = 6
– 6x + 4y = – 8
6x – 4y = 6
———————–
0 + 0 = 2
0 = 2
Metoda graficzna:
3x – 2y = 4
6x – 4y = 6
3x – 4 = 2y
6x – 6 = 4y
y = x – 2
y = x –
Na wykresie proste są do siebie równoległe (nie nachodzą na siebie i nie mają punktów wspólnych)
|
