Układ równań

1.Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub zero rozwiązań. Możemy rozwiązywać je za pomocą różnych metod.
Zapoznajcie się z kilkoma z nich:
Metoda I – metoda podstawiania – polega na wyznaczeniu z równania jednej z niewiadomych i podstawieniu wyznaczonej niewiadomej do drugiego równania. Wtedy rozwiązujemy drugie równanie i wynik, który otrzymamy znów podstawiamy , tym razem do pierwszego równania, by obliczyć drugą niewiadomą. Ta metoda jest skuteczna tylko w niektórych przypadkach. Może okazać się skomplikowana w przypadku konieczności wykonywania działań na ułamkach czy liczbach niewymiernych.

Przykład 1:
Rozwiąż podany układ równań metodą podstawiania:

Krok 1:
Wyznacz „x” z pierwszego równania:
x + y = 72
x = y – 72

Krok 2:
Tak wyznaczone „x” podstaw do drugiego równania:
y – 72 – y = 22

Krok 3:
Przenieś „y” na jedna stronę a wartości liczbowe na drugą. Zredukuj wyrażenia podobne.
2y = 50

Krok 4:
Oblicz wartość „y”.
y = 25

Krok 5:
Podstaw wartość „y” wyznaczona w kroku 4 do do równania i oblicz „x”:
25 + x = 72

Krok 6:
Zapisz rozwiązania układu równań:
y = 25
x = 47

Metoda II – metoda przeciwnych współczynników – polega na zauważeniu przeciwnych współczynników przy tej samej niewiadomej lub przekształceniu równań tak, aby takie przeciwne współczynniki otrzymać. Skuteczność tej metody jest bardzo wysoka. Stosujemy ją w większości przypadków.

Przykład 2:
Rozwiąż podany układ równań metodą przeciwnych współczynników:

Krok 1:
Zauważ, że jeśli pomnożymy pierwsze równane razy -2 ro otrzymamy takie same współczynniki przy „x” (2,-2).
-2x -4y = -38

Krok 2:
Dodaj obydwa równania stronami:
-2x -4y + 2x – 3y = -11 – 38

Krok 3:
Zredukuj wyrażenia podobne:
-7y = -49

Krok 4:
Oblicz wartość „y”:
y = 7

Krok 5:
Podstaw wartość „y” wyznaczona w kroku 4 do do równania i oblicz „x”:
x + 2 7 = 19
x + 14 = 19
x = 5

Krok 6:
Zapisz rozwiązania układu równań:
x = 5
y = 7

Metoda III- metoda graficzna – polega na zaznaczeniu w układzie współrzędnych dwóch prostych i odczytaniu ich punktów wspólnych. Jest do metoda dość rzadko stosowana ze względu na niską skuteczność. Nie jest łatwe dokładne zaznaczenie prostych w przypadku wystąpienia współczynników, które są liczbami niewymiernymi czy nawet dokładne odczytanie punktów przecięcia wykresów, które mają współrzędne wymierne.

Przykład 3:
Rozwiąż poniższy układ równań metodą graficzną.

Krok 1:
Zapisz obydwa podane równania w postaci równania kierunkowego prostej: y = ax+b:
y = 4x – 2
y = 4x + 5

Krok 2:
Zaznacz obydwie proste w układzie współrzędnych, korzystając z własności funkcji liniowej (wartość współczynnika b to miejsce przecięcia wykresu z osią OY):

Krok 3:
Dokonaj analizy wykresu funkcji:
Podane wykresy funkcji są do siebie równoległe (posiadają wspólny współczynnik kierunkowy prostej a=4, ale inny wyraz wolny – „b”), tzn. że ich wykresy nie przetną się (nie mają punktów wspólnych). Dlatego podany układ równań nie ma rozwiązań – jest układem sprzecznym.

Przykład 4:
Określ liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru „m”:

Krok 1:
Układ jest nieoznaczony jeśli ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zauważmy, że powyższy układ nie będzie nieoznaczony dla żadnego „m”. Ponieważ nawet jeśli współczynniki przy „x” i „y” będą równe w obydwu równaniach, to prawa strona pierwszego równania nie będzie się równania prawej stronie drugiego równania.

Krok 2:
Aby sprawdzić, kiedy podany układ jest sprzeczny zaczynamy od pomnożenia pierwszego równania razy 3:
3x +3my = 12
Następnie przyrównujemy do siebie współczynniki, znajdujące się przy „y”:
2y = 3my
„y” się skróci, zostaje nam:
m =
Dla m = układ ma zero rozwiązań.

Krok 3:
Zauważenie, że układ równań jest oznaczony – ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego m R z wyjątkiem .

Zadanie utrwalające:
W ramach utrwalenia zdobytych wiadomości, rozwiąż podany układ równań dowolną metodą.

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb x = 2 i y = 1 .