Układy równań

Witaj! Dziś dowiesz się jak rozwiązywać układy równań.

Jak sama nazwa mówi, układ będzie równań będzie składać z co najmniej dwóch równań, które są połączone spójnikiem logicznym „i”. Na poniższych zdjęciach możesz zobaczyć kilka układów równań. Zauważ, że są to równania z dwoma niewiadomymi (występują dwie zmienne x i y).



Oczywiście, możemy jeszcze znaleźć układy równań, które składają się np. z trzech równań, które mają więcej niż 2 niewiadome. Przykładowy taki układ równań jest pokazany poniżej.

Czym w takim razie jest rozwiązanie takiego układu równań?

Jeśli mówimy o układach o dwóch zmiennych, to rozwiązaniem jest para liczb o współrzędnych (x, y). Ta liczba spełnia oby dwa równania. Oznacza to, że gdy do pierwszego równania podstawimy x, to otrzymamy y. Tak samo musi być w drugim równaniu, jak i przy podstawieniu y.

Wyróżniamy kilkanaście metod rozwiązywania takich układów równań. Spróbujmy nauczyć się tych najbardziej popularnych metod.

Metoda I – metoda podstawiania
Ta metoda głównie pozwala nam na wyliczenie jednej zmiennej (niewiadomej) z jednego równania, a następnie otrzymane równanie podstawiamy do drugiego równania. Brzmi skomplikowanie? Spróbujmy rozwiązać w ten sposób układ równań. Chcę zaznaczyć, że program uniemożliwia napisania klamry, mówiącej nam o układzie równań. Z tego powodu ja będę robiła przerwy między układami, aby było wiadomo co jest układem.

x + 2y = 8
2x – y = 1

x = 8 – 2y
2x – y = 1

x = 8 – 2y
2 (8 – 2y) – y =1

x = 8 – 2y
2(8 – 2y) – y = 1

x = 8 – 2y
16 – 4y – y = 1

x = 8 – 2y
-5y = – 15

x = 8 – 2y
y=3

x= 8 – 6 = 2
y=3

x=2
y=3

Rozwiązanie układu równań to (2, 3).

II Metoda – metoda przeciwnych współczynników

Ta metoda pozwala nam dodać równania stronami. Co ważne, te dodawania następuje, gdy przy tej samej niewiadomej (np. przy x) występuje przeciwny znak ( np. + i -).

Ćwiczenie
Rozwiąż poniższy układ równań metodą przeciwnych współczynników.
x + 2y = 8
2x – y = 1

Rozpoczynamy od mnożenia przez dwa drugiego równania.
Otrzymujemy układ równań:
x + 2y = 8
4x – 2y = 2

Przystępujemy do dodania stronami równań. Te same wyrazy dodajemy ze sobą. Jak widzisz, wyrazy z y nam się upraszczają. Właśnie po to mnożyliśmy drugie równanie przez dwa.
x + 4x + 2y – 2y = 8 + 2
5x = 10
x = 2

Obliczoną wartość dodajemy do dowolnego równania (pierwszego lub drugiego)
2 + 2y = 8
2y = 6
y = 3

Ta para liczb to rozwiązanie tego układu równań
x = 2
y = 3

III Metoda – metoda graficzna

Ta metoda często jest wymagana na wielu konkursach czy też egzaminach. Często w poleceniach możemy spotkać się z poleceniem, aby rozwiązać układ graficznie i algebraicznie. Rozwiązanie graficzne układu polega na narysowaniu funkcji w układzie współrzędnych. Punkty przecięcia wykresów są rozwiązaniem układu. Tych rozwiązań może być od 0 do nieskończenia wielu.

Aby graficznie rozwiązać układ równań powinniśmy funkcje przedstawić w postaciach ogólnych. Jeśli spotykamy się z funkcjami liniowymi, to najlepiej stworzyć tabelkę, która pozwoli nam znaleźć przynajmniej dwa punkty potrzebne do narysowania wykresu. Gdy mamy funkcję stałą, to rysujemy prostą, w odpowiednim miejscu przecinającą daną oś np. y=2 przecina oś Y w na wysokości dwójki i jest równoległa do osi X.

Zadanie
Rozwiąż graficznie poniższy układ równań
x + 2y = 8
2x – y = 1

Mamy tutaj funkcje liniowe, a więc chcemy doprowadzić je do postaci y=ax+b

2y=-x+8
-y=-2+1

y=x+4
y=2x-1 Tak jak mówiłam, aby narysować te funkcje najlepiej stworzyć tabelkę, w której w wierszu z x-ami wpiszesz łatwe do obliczania wartości takie jak -1, 0 czy też 1. Poniżej masz wzór takiej tabelki:

x