Ułamki

Ułamki – co to jest? Jakie mamy rodzaje ułamków? Jak się je dodaje i odejmuje?
Wyróżniamy dwa rodzaje ułamków:
ułamki zwykłe
ułamki dziesiętne.
Jak wygląda ułamek zwykły?
Ułamek zwykły posiada licznik i mianownik oraz kreskę, którą nazywamy kreską ułamkową. Ona po prostu zastępuje znak dzielenia.

W ułamkach zwykłych możemy też wyróżnić ułamek właściwy i ułamek niewłaściwy.
Kiedy mam ułamek niewłaściwy?
Ułamek niewłaściwy jest wtedy, kiedy licznik mianownik
np. Mamy tutaj licznik większy od mianownika
Tutaj ważne jest również pojęcie liczba mieszana, czyli liczba, która jest zapisana za pomocą liczby naturalnej oraz ułamka zwykłego. Taką liczbę możemy zamienić na ułamek niewłaściwy. Tak jest również w naszym przykładzie, który możemy zamienić na 1,5.
Kiedy mam ułamek właściwy?
Ułamek właściwy mam wtedy, kiedy licznik < mianownik
np. Licznik jest mniejszy od mianownika
Czym są ułamki dziesiętne?
Ułamek dziesiętny jest to ułamek o mianowniku 10, 100, 1000, 10000………
Taki ułamek można zamienić na ułamek dziesiętny nieskończony okresowy albo na ułamek dziesiętny skończony.
Jak odróżnić ułamek dziesiętny nieskończony okresowy od ułamka dziesiętnego skończonego?
Jest to bardzo proste.
Ułamek dziesiętny skończony ma po przecinku kilka cyfr.
na przykład: 0,035, 0,4 , 1,55
Z kolei ułamek dziesiętny nieskończony okresowy ma cyfry zapisane w ().
na przykład: 2,(63). Oznacza to, że ma nieskończenie wiele powtarzających się szóstek i trójek.
2,(63) = 2,636363636363636363636363636363636363636363636363…………………… Moglibyśmy wypisywać je w nieskończoność, w kolejności najpierw 6, a potem 3.

Ułamek dziesiętny możemy zamienić na ułamek zwykły, tak samo jak ułamek zwykły, zamienić na ułamek dziesiętny.

Z ułamkami zwykłymi wiążę się również skracanie i rozszerzanie ułamków.
Co to jest skracanie ułamka zwykłego?
Skracanie ułamka to po prostu dzielenie licznika i mianownika przez ich wspólny dzielnik, który musi być inny niż 1, ponieważ jeśli podzielimy przez 1, to otrzymamy taki sam ułamek, nic nam się nie zmieni.

Tutaj licznik i mianownik podzieliliśmy przez wspólny dzielnik. Wspólnym dzielnikiem liczby 8 i 16 jest osiem. Jeśli 8 podzielimy przez 8 to otrzymamy 1, natomiast jeśli 16 podzielimy przez 8 to otrzymamy 2. Tego ułamka nie da się już skrócić, czyli jest to ułamek nieskracalny. Moglibyśmy natomiast skracać przez 2, 4, ale wtedy zmuszeni bylibyśmy do wykonywania wielu działań. Jeśli natomiast od razu zauważymy największy wspólny dzielnik obu liczb, to wykonamy tylko jedna działanie.
Tutaj jest też mała pułapka, ponieważ nie wszystkie ułamki zwykłe możemy skrócić. Mamy takie coś jak ułamek nieskracalny, czyli taki, który nie możemy skrócić, nie da się podzielić przez wspólny dzielnik.
na przykład: Licznika i mianownika tego ułamka zwykłego nie damy rady już podzielić, więc jest to ułamek nieskracalny.
Co to jest rozszerzanie ułamka zwykłego?
Rozszerzanie ułamka zwykłego to po prostu mnożenie licznika i mianownika przez taką samą liczbę naturalną, która jest większa od 1.
na przykład:
Jak możemy zobaczyć na przykładzie obok licznik i mianownik musimy pomnożyć przez taką samą liczbę.

Jak dodać lub odjąć ułamki zwykłe?
Kiedy chcemy dodać ułamki do siebie lub je od siebie odjąć musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Nie możemy zrobić tego, jeśli mamy różne mianowniki.
na przykład:
W tym przykładzie musieliśmy pierwszy ułamek pomnożyć przez 2, aby otrzymać w mianowniku taką samą liczbę, jak w drugim ułamku, czyli musieliśmy rozszerzyć licznik i mianownik przez 2. Dzięki tej czynności mogliśmy dodać do siebie ułamki, a na koniec wyszedł nam ułamek niewłaściwy, czyli taki, którego licznik jest większy od mianownika, dlatego mogliśmy wyciągnąć z tego ułamka całość. Powstała nam w ten sposób liczba mieszana.
W odejmowaniu sytuacja jest analogiczna, tylko mamy zmieniony znak + na znak -.

Jak pomnożyć i podzielić ułamki zwykłe?
Kreska ułamkowa zastępuje nam znak dzielenia!
Jeżeli chcemy podzielić ułamki zwykłe, musimy wprowadzić nowe pojęcie. Liczba odwrotna – czyli jaka? O co chodzi? Najprościej mówiąc, obracamy, zamieniamy licznik i mianownik miejscami.
zamieniamy miejscem licznik i mianownik i otrzymujemy liczbę odwrotną, czyli
Ale po co nam ta odwrotna liczba, aby wykonać dzielenie ułamków zwykłych?
Dzielnie ułamków zwykłych to tak naprawdę, mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka. Zobaczmy to na przykładzie:

Tutaj na zielono zaznaczyłam skracanie licznika i mianownika. Moglibyśmy tego nie wykonywać i pomnożyć przez siebie te liczby, ale otrzymalibyśmy ułamek skracalny, a w rezultacie musielibyśmy skrócić ułamek, czyli podzielić licznik i mianownik przez taką samą liczbę naturalną. Jest to jednak bardziej czasochłonne i trudne w dużych liczbach, więc jeśli widzimy liczby, które możemy skrócić w działaniu, to warto je skracać, gdyż nie musimy potem wykonywać działań na dużych liczbach. W tym przykładzie widzimy również jak wykonywać mnożenie na ułamkach zwykłych.

Teraz musimy omówić mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych.
Żeby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 100 przesuwamy przecinek w prawo o tyle miejsc ile mamy 0, czyli jeśli mnożymy przez 10, to przesuwamy o 1 miejsce w prawo.
Aby podzielić ułamek przez 10, 100, 1000 przesuwamy przecinek w lewo o tyle miejsc ile mamy 0.

Porównywanie ułamków:
Możemy sprowadzić je do wspólnego mianownika, większy jest ułamek, który ma większy licznik.
Sprowadzić do wspólnego licznika, większy ten ułamek, który ma mniejszy mianownik.
W przypadku ułamków dziesiętnych porównujemy ich całości, części dziesiąte, setne, itp.