Ułamki niewłaściwe

Ułamki zwykłe możemy podzielić na ułamki właściwe oraz niewłaściwe.

Zapiszmy ułamek
Ułamek właściwy to ułamek, w którym licznik jest liczbą mniejszą niż mianownik, czyli a < b. Ułamek niewłaściwy to ułamek, w którym licznik jest liczbą większą niż mianownik lub licznik i mianownik są sobie równe, czyli .

Jeżeli rozwiązujemy zadania, to główną zasadą jest upraszczanie wyników, czyli usuwanie niewymierności z mianownika, a także skracanie ułamków zwykłych lub zapisywanie ich w postaci mieszanej.

Przykład 1
Ułamek jest ułamkiem niewłaściwym, ponieważ licznik jest większy niż mianownik. Możemy zapisać, że .

Przykład 2
Ułamek jest ułamkiem niewłaściwym, ponieważ licznik jest większy niż mianownik. Możemy zapisać ten ułamek w postaci mieszanej. Przy zamianie wyłączamy całości.

Najpierw patrzymy ile razy 4 zmieści się w 19. Wiemy, że . Więc zapisujemy 4 jako całość. Następnie musimy zapisać część ułamkową. . Część ułamkowa będzie to .

Możemy sprawdzić, czy zamieniliśmy ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną w odpowiedni sposób.
Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy. W tym celu całość mnożymy przez mianownik, a następnie dodajemy licznik z części ułamkowej. Mianownik pozostaje taki sam.

Uzyskaliśmy dokładnie taki sam ułamek, który był dany na początku.

Przykład 3
Porównaj ułamki zwykłe . Widzimy, że w pierwszym ułamku licznik jest większy niż mianownik, więc całość wynosi 1. W drugim ułamku licznik jest mniejszy niż mianownik, dlatego nie ma całości. W tym przypadku łatwo wyciągnąć wniosek, że jest większe niż .

Przykład 4
Oceń, czy ułamki są właściwe czy niewłaściwe. W przypadku ułamków niewłaściwych zapisz je jako liczbę mieszaną.
a)
Jest to ułamek właściwy. Można go jedynie skrócić.
b)
Jest to ułamek niewłaściwy.
c)
Jest to ułamek niewłaściwy.
d)
Jest to ułamek właściwy.