Walec – definicja, wzory, przykładowe zadania. Walec to przestrzenna bryła geometryczna. Powstaje w wyniku obrotu o prostokąta wokół prostej, która zawiera jeden z jego boków. Walec prosty: Ma dwie równoległe podstawy, którymi są koła. Jego powierzchnią boczną jest prostokąt. Jego szerokość jest w każdym miejscu taka sama. Należy do brył obrotowych.
Wzory: Poniższe wzory wynikają z tego, że podstawą walca jest koło. Dlatego pole podstawy walca liczymy ze wzoru na pole koła. Skoro powierzchnią poczną jest prostokąt, to możemy zauważyć, że długość jednego z jego boków to obwód podstawy, a drugiego wysokość walca. Z tego powodu powierzchnię boczną walca liczymy z obwodu podstawy, czyli ze wzoru na obwód koła i mnożymy go przez wysokość walca. Natomiast wzór na jego objętość wynika z najprostszego wzoru na objętość, czyli pole podstawy razy wysokość, a skoro podstawą walca jest koło, to jego objętość liczymy ze wzoru na pole koła pomnożonego przez wysokość walca.
Pole podstawy
Powierzchnia boczna
Objętość
Pole całkowite
– promień koła (podstawy) – wysokość walca – liczba pi Za wartość liczby pi do rozwiązywania zadań życiowych, czyli takich w których mamy do czynienia z życiowymi sytuacjami lub przedmiotami użytku codziennego przyjmujemy jej przybliżoną wartość (). Przekrój osiowy walca. Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego jeden z boków ma długość równą długości wysokości walca (), a drugi długość równą długości średnicy podstawy walca, czyli koła (). Jeśli wyobrazimy sobie okrągły tort, to zauważymy, że jest on walcem. Gdybyśmy taki tort przekroili równo na pół, to prostokąt który wtedy zobaczymy to właśnie przekrój osiowy takiego tortu, czyli walca. Siatka walca: Oczywiście w tym przypadku krótszy bok przedstawionego w siatce prostokąta to wysokość walca, a dłuższy z boków to obwód podstawy, czyli jednego z przedstawionych w siatce kół, które są przystające (jednakowe).
Walec w życiu codziennym. Bryła przestrzenna jaką jest walec pojawia się w wielu przedmiotach użytku codziennego. Na przykład używany przez wszystkich wałek kuchenny, którym wałkujemy ciasto to także jest walec, do którego podstaw zostały przymocowane uchwyty. Innym przykładem jest większość szklanek z jakich pijemy. One również są walcami, którym brakuje jednej z podstaw. Walcem jest również: dużo butelek, zwinięty na rolkę papier do pakowania prezentów, większość świec i świeczek, wiele nowoczesnych budowli oraz worki treningowe. Oczywiście przykładów walca w życiu codziennym jest o wiele więcej. Choćby walec drogowy, ale wymienienie ich wszystkich nie jest konieczne. Wystarczy zapamiętać niektóre z przykładów.
Przykładowe zadania dotyczące walca prostego: Przykład 1 Oblicz pole powierzchni walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 6 na 4 wokół prostej, która zawiera bok 6. Rysunek poglądowy: Jeżeli w zadaniu nie ma podanych jednostek to można wartości wyników przedstawić jako jednostkę , ale nie jest to obowiązkowe. W przypadku tego zadania należało najpierw obliczyć pole podstawy walca oraz jego powierzchnię boczną, a następnie korzystając ze wzoru, obliczyć jego pole powierzchni. Odpowiedź: Pole powierzchni tego walca wynosi Przykład 2Oblicz objętość walca, którego wysokość wynosi 8 cm, a średnica podstawy 10 cm. Rysunek poglądowy: Pamiętaj, że jeśli w zadaniu podane są jednostki, to trzeba je uwzględnić w obliczeniach. W przypadku tego zadania najpierw należało obliczyć pole podstawy, a następnie korzystając ze wzoru, obliczyć objętość walca. Odpowiedź: Objętość tego walca wynosi .Przykład 3Oblicz promień podstawy walca jeśli wiadomo, że jego objętość wynosi 0,063 dm3, a jego wysokość wynosi 7 cm . Rysunek poglądowy: / / / Pamiętaj, że na początku należało zamienić jednostki. W przypadku tego zadania najpierw należało wyliczyć sobie pole podstawy walca, a następnie korzystając z tej wartości, obliczyć promień podstawy. Odpowiedź: Promień podstawy takiego walca wynosi .Przykład 4Oblicz wysokość walca, jeśli jego pole powierzchni wynosi 56 cm2, a pole podstawy wynosi 16 cm2. W tym zadaniu nie mamy żadnych danych, które moglibyśmy nanieść na rysunek poglądowy, więc go nie rysujemy. /: / /: Pamiętaj, że jeżeli w zadaniu są podane jednostki, to trzeba je uwzględnić w obliczeniach. W przypadku tego zadania najpierw należało wyliczyć sobie długość promienia podstawy oraz wartość powierzchni bocznej tego walca, a następnie korzystając z tych wartości, obliczyć jego wysokość. Odpowiedź: Wysokość takiego walca wynosi .Przykład 5Dziewczynka rysowała na kartce przy użyciu szklanki koła, obrysowując ją dookoła. Oblicz obwód narysowanego przez dziewczynkę koła, jeżeli wiadomo, że użyta przez nią szklanka pa pole podstawy o wartości 4 cm2. W tym zadaniu również nie mamy żadnych danych, które moglibyśmy nanieść na rysunek poglądowy, dlatego go nie rysujemy. /: /: Pamiętaj, że szklanka to także walec oraz to, że w zadaniach życiowych należy podstawić do obliczeń za liczbę pi jej przybliżoną wartość. W przypadku tego zadania najpierw należało wyliczyć sobie promień podstawy, a następnie korzystając z tej wartości wyliczyć obwód podstawy. Odpowiedź: Narysowane przez dziewczynkę koło miało obwód . Przykład 6 Przekrój osiowy walca jest kwadratem o przekątnej 24. Oblicz objętość tego walca. Rysunek poglądowy: /: Pamiętaj, że skoro przekrój osiowy walca jest kwadratem to długość jego średnicy będzie równa długości jego wysokości. W przypadku tego zadania najpierw należało, korzystając ze wzoru na przekątną kwadratu wyliczyć sobie długość średnicy podstawy, a następnie używając tej wartości obliczyć promień podstawy oraz objętość walca. Odpowiedź: Objętość takiego walca wynosi .Aby rozwiązywać tego typu zadania trzeba wykazywać się znajomością wzorów geometrycznych i przybliżonej wartości liczby pi, a także wiedzieć co to jest walec i przekrój osiowy walca. Należy również pamiętać jak wygląda siatka walca. Do obliczeń konieczne są również umiejętności takie jak: przekształcanie wzorów, rozwiązywanie równań, działania na pierwiastkach i potęgach oraz zamiana jednostek.
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
