Wartość bezwzględna

Na samym początku należy zaznaczyć na osi liczbowej podane liczb .Wartość bezwzględna tych liczby są przeciwne do siebie :

Własności wartości bezwzględnej :
|-a| = a , ponieważ wartość bezwzględna jest liczbą nieujemną , czyli liczbą dodatnią
|a| > 0 , ponieważ wartość bezwzględna jest większa niż zero
|-a| = a , wartość bezwzględna jest równa liczbie a

Wartość bezwzględna wyrażeń z iksem ( x ) :

Jeśli w znaku wartości bezwzględnej znajduje się iks to przy jemu opuszczaniu powinniśmy się zastanowić , który sposób , będzie lepszy na opuszczenie wartości bezwzględnej :

Opuszczenie wartości bezwzględnej :
Nie zmieniamy znaku dla iksów/iksa – wartość bezwzględna wynosi zero lub jest większe od zera.
Zmieniamy znak minusa dla iksa/iksów , których wartość bezwzględna jest ujemna .

Przykłady :

Opuszczając wartość bezwzględną dla wyrażenia |2x+3|=4 otrzymamy dwa sposoby :

Sposób pierwszy :

| 2x+3 | = 4 , możemy to inaczej zapisać :

2x+3 = 4 lub -4 Teraz musimy obliczyć ile wynoszą iksy :

2x+3 = 4 / – 3 Gdy odejmiemy trzy od cztery to zostanie nam jeden. Liczba jeden to dwa iksy.

2x = 1 / : 2 Teraz musimy jeden podzielić przez ilość iksów , czyli dwa

x =

Sposób drugi :

| 2x+3 | = 4 , możemy to inaczej zapisać :

2x+3 = 4 lub -4 Teraz musimy obliczyć ile wynoszą iksy :

2x+3 = – 4 / – 3 Gdy odejmiemy trzy od minus cztery to zostanie nam minus siedem. Liczba minus siedem to dwa iksy.

2x = -7 / : 2

x =

Wykresy wartości bezwzględnej :

Na samym początku trzeba narysować wykres funkcji :

Następnie podane liczby należy zaznaczyć na układzie współrzędnych :

x

Przykładowe zadania wartości bezwzględnej :

Zadanie 1

Oceń prawdziwość podanych zdań , jeśli zadanie jest prawdziwe zaznacz literkę P , a jeśli fałszywe to literkę F.

1) |-123| = |900| P/F

2) -980 > |-566| P/F

3) |566| = 566 P/F

4) 333 = -333 P/F

Rozwiązanie :

1) |-123| = |900| P/F , bo wartość bezwzględna do liczby |-123| to 123 , a do liczby |900| to 900

2) -980 > |-566| P/F , bo wartość bezwzględna liczby |-566| to 566 i to liczba 566 jest większa od -980

3) |566| = 566 P/F , bo wartość bezwzględna liczby |566| to 566

4) 333 = -333 P/F , bo nie ma tu znaku wartości bezwzględnej , więc liczba 333>-333

Zadanie 2

oblicz wartości bezwzględne :

|-26| = ?

|8| = ?

|-34| = ?

|98| = ?

|-3,3| = ?

|5,9| = ?

|- | = ?

|-97| = ?

|98765| = ?

Rozwiązanie :

|-26| = 26 , bo obliczając ; |-26|=-(-26) = 26 , ponieważ minus i minus dają plus

|8| = 8 , bo wartość bezwzględną liczby |8| to 8

|-34| = 34 , bo obliczając ; |-34|=-(-34) = 34 , ponieważ minus i minus dają plus

|98| = 98 , bo wartość bezwzględną liczby |98| to 98

|-3,3| = 3,3 , bo obliczając ; |-3,3|=-(-3,3) = 3,3 , ponieważ minus i minus dają plus

|5,9| = 5,9 , bo wartość bezwzględną liczby |5,9| to 5,9

|- | = , bo obliczając ; |- |=-(- ) = , ponieważ minus i minus dają plus

|-97| = 97 , bo obliczając : |97| = -(-97)=97 , ponieważ minus i minus dają plus

|98765| = 98765 , bo wartość bezwzględna liczby |98765| to 98765

Zadanie 3

Rozwiąż równania algebraicznie :

a) | x + 2 | = 7

b) | x – 3 | = 4

c) | x + 1 | = 5

Rozwiązanie :

a) | x + 2 | = 7
Aby rozwiązać te zadanie , należy wyjąc je z wartości bezwzględnej :
w miejsce tego wyrażenia możemy wstawić siódemkę lub minus siódemkę

x+2=7 lub -7 z obu stron tego równania odejmujemy dwójkę

x+2=7 /-2 x+2=-7/-2 , czyli otrzymujemy ,że iks równa się pięć lub minus dziewięć

x= 5 lub x= -9

Odpowiedź ; Iks równa się pięć lub minus dziewięć

b) | x – 3 | = 4
Aby rozwiązać te działanie , należy pozbyć się wartości bezwzględnej i w miejsce tego wyrażenia możemy wstawić czwórkę lub minus czwórkę .

x – 3 = -4
x-3=4 następnym krokiem , który trzeba wykonać to odjęcie z obu stron liczby trzy

x – 3 = -4 /+3
x – 3 = 4 /+3 , czyli iks równa się minus siedem lub jeden

x = -1
x = 7

Odpowiedź : Iks równa się minus jeden lub siedem.

c) | x + 1 | = 5
Aby rozwiązać te zadanie postępujemy analogicznie tak samo jak w przykładzie a i b , czyli pozbywamy się wartości bezwzględnej i w miejsce tego wyrażenia zapisujemy minus pięć lub pięć.

x + 1 = 5
x + 1 = -5 następnie po obu stronach równania odejmujemy liczbę jeden

x + 1 = 5/-1
x + 1 = -5/-1 , czyli iks równa się cztery lub minus sześć .

x = 4
x = -6

Odpowiedź : Iks równa się cztery lub minus sześć .

Zadanie 4

Rozwiąż nierówności :

a) | x – 6| > 3

b) | x – 8 | > 2

Rozwiązanie :

a) | x – 6| > 3

Aby rozwiązać te równanie należy na osi liczbowej zaznaczyć szóstkę , następnie przesunąć się o trzy miejsca w prawą i lewą stroną .

Możemy zauważyć ,że jest w działaniu „>3” , czyli potrzebujemy liczby odległej większej niż trzy .

Czyli wszystkie liczby z przedziału 3 i 9 zaznaczamy. Kółka u dziewiątki i trójki są nie zamalowane , ponieważ jest to nierówność ostra. Iks należy do :

x ( –,3)u(9+)

Jeśli weźmiemy dowolną liczbę z tego przedziału i odległość od liczby sześć bedzie większa od trzech.

b) | x + 5 | 4

Wiemy ,że odległość na osi liczbowej jest definiowane jako różnica , czyli wstawmy tutaj minus .
|x-(-5)|4

Szukam teraz na osi liczbowej liczby , które są mniejsze od minus trzy lub równe cztery.

Kółka przy minus dziewice i minus jeden będą zamalowane , ponieważ jest to nierówność nieostra. Teraz zaznaczamy liczby , których odległość jest mniejsza lub równa cztery. To będzie ten przedział :

x <-7,1>

Zadanie 5

Połącz odpowiednie liczby z opisami :

18 , 4 , 9 , -7 , -4 , -9, 7 , -18

Wartość bezwzględna liczb wynosi 4 to …………

Liczby , których wartość bezwzględna wynosi 18 to …….

Wartość bezwzględna tych liczb wynosi 9 to ….

Liczby , których wartość bezwzględna wynosi 7 to ……

Rozwiązanie :

Wartość bezwzględna liczb wynosi 4 to ….4 i -4……..

Liczby , których wartość bezwzględna wynosi 18 to …18 i -18….

Wartość bezwzględna tych liczb wynosi 9 to ..-9 i 9..

Liczby , których wartość bezwzględna wynosi 7 to …-7 i 7…

Zadanie 6

Oceń prawdziwość zdań . Jeśli zadanie jest prawdziwe zaznacz literkę P , a jeśli fałszywe to literkę F.

1) Liczby -6 i 6 są oddalone od zera o sześć jednostek P/F

2) Wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia P/F

3) Liczby przeciwne to -9 i -6 P/F

4) Liczby -4 i 4 są oddalone od zera o osiem jednostek P/F

Rozwiązanie :

1) Liczby -6 i 6 są oddalone od zera o sześć jednostek P/F

Wyjaśnienie : Najlepiej to widać na osi liczbowej .

2) Wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia P/F

Wyjaśnienie : Aby odpowiedzieć na te pytanie należy zwrócić się do definicji Wartości bezwzględnej , która znajduje się powyżej. Z definicji wynika ,że wartość bezwzględna zawsze jest dodatnia lub wynosi zero.

3) Liczby przeciwne to -9 i -6 P/F

Wyjaśnienie : Liczby przeciwne to liczby , które znajdują się od zera o tyle samo jednostek . Liczbą przeciwną do liczby -9 jest 9 , a liczbą przeciwną do liczby -6 jest 6.

4) Liczby -4 i 4 są oddalone od zera o osiem jednostek P/F

Wyjaśnienie : Najlepiej jest to pokazane na osi liczbowej . Przedstawię Wam to poniżej :

Zadanie 7

Rozwiąż działania :

a) |-8| + 15 = ……….

b) |24| : |-4| = ………..

c) |3| * |9| = ………..

d) |15|-|-5| = …………

Rozwiązanie :

a) |-8| + 15 = 8 + 15 = 23

Wyjaśnienie : Aby obliczyć te działanie należy sprowadzić do wartości bezwzględnej liczbę |-8| . Jak już tak zrobamy możemy obliczyć te działanie ,

b) |-24| : |-4| = .24 : 4 = 6

Wyjaśnienie : Aby obliczyć te działanie należny sprowadzić do wartości bezwzględnej liczby |-24| = 24 i |-4| to 4 . Jeśli już sprowadzimy te liczby do wartości bezwzględnej to możemy zacząć obliczać te działanie .

c) |3| * |-9| = 3*9 = 27

Wyjaśnienie : Aby obliczyć te działanie należy sprowadzić do wartości bezwzględnej liczby |-9| = 9 i |3| = 3. Jak już tak zrobimy możemy obliczyć te działanie ,

d) |15| – | -5| = 15 – 5 = 10.

Wyjaśnienie : Aby obliczyć te działanie należy sprowadzić do wartości bezwzględnej liczby |15| = 15 oraz |-5|= 5 . Jeśli już to zrobimy , należy liczbę pięć odjąć od liczby piętnaście.

Zadanie dodatkowe :

Połącz liczby z ich wartościami bezwzględnymi . Pamiętaj ,że nie wszystkie liczby pasują .

Liczby: 1 , -5 , 7 , -9

Wartości bezwzględne 2 , 4 , 1 , 5 , 7 ,9

1 wartość bezwzględna to 1
-5 wartość bezwzględna to 5
7 wartość bezwzględna to 7
-9 wartość bezwzględna to 9

Wyjaśnienie : Jak z definicji wynika wartość bezwzględna do liczby rzeczywistej jest zawsze dodatnia. Przykład: |-6| wartość bezwzględna to 6.