Wektor

WEKTOR

Jest to leżący na prostej, odcinek zawierający punkty a i b. Podstawą wektora jest to że ma zwrot i kierunek. Wektory służą do określania odległości w danym kierunku. Długość trasy symbolizuje moduł za to zwrot wskazuje grot strzałki.

Wektor ruchu

Jest to inaczej odległość od punktu do danego kierunku. Często wektory przybierają kształt przekątnych i powstają przeciwprostokątne trójkąta prostokątnego.

Zaznaczanie wektorów

Wektory da się zapisać na trzy różne sposoby:
za pomocą liczb są to współrzędne punktów początkowych i końcowych zapisane w nawiasie kwadratowym
za pomocą liter Takie oznaczenie zapisujemy na wykresie nad wektorem
za pomocą zapisu punktów końcowych i początkowych wektorów. strzałka wskazuje zwrot
Wektory na wykresach rysuje się jako strzałki o danej wielkości i zwrocie.

Kierunek i zwrot wektora
Kierunek wektora jest zależny od kierunku prostej na której dany wektor leży. Zwrot zależy od tego czy wektor ma współrzędne inaczej wartości dodatnie, wtedy zwrot ma kierunek w prawu lub w górę, czy ujemne , a wtedy zwrot ma kierunek w dół lub w lewo.
1. Ruch w górę i lewo
Pierwsza współrzędna wektora (x) jest dodatnia , a druga (y) jest ujemna [ -3, 3 ]
2.Ruch w dół i w lewo
Obydwie są ujemne [ -3, -3 ]
3.Ruch w górę i w prawo
Obydwie wartości są dodatnie [ 3,3 ]
4.Ruch w dół i prawo
Pierwsza współrzędna wektora jest dodatnia a druga ujemna [ 3,-3 ]

Wektory równe
Wektory ssą równe, nawet jeśli leżą w innym miejscu ale, na tej samej płaszczyźnie. Są równe jeśli mają ten sam kierunek i zwrot.
[ 4,2 ] zapis dla obydwu wektorów. Są one równe ponieważ mają ten sam zwrot, kierunek i długość

Długość wektora

Wektor jest zawsze najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego czyli przeciwprostokątną. Można obliczyć długość tego wektora, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Oczywiście jeśli znamy długość obu przyprostokątnych

(wynik został podany w zaokrągleniu do 1 miejsca po przecinku)

Dodawanie wektorów

Jest ono bardzo podobne do dodawania normalnych liczb. Zapisujemy jego współrzędne i najpierw dodajemy współrzędne z osi x , po czym dodajemy współrzędne z osi y.
[-3,2] + [-1,2]=[2,4]
[2,4] są to współrzędne przeciwprostokątnej trójkąta.

Wektory można też dodawać sposobem tzn. na rysunku.
Najpierw trzeba narysować wektor
Po czym od jego końca należy narysować wektor
A sumą tych wektorów jest nowo powstały wektor , który został poprowadzony od początku wektora do końca wektora

Odejmowanie wektorów

Działa dokładnie tak samo jak odejmowanie zwykłych liczb. Trzeba odjąć od siebie współrzędne wektora najpierw z osi x potem z osi y.
[3,2] – [-1,2] = [4,0]
[4,0] są to również współrzędne przeciwprostokątnej trójkąta.

Wektory można też dodawać sposobem tzn. na rysunku.
Najpierw trzeba narysować wektor
Po czym od jego końca należy narysować wektor
A różnicą tych wektorów jest nowo powstały wektor , który został poprowadzony od początku wektora do końca wektora

Mnożenie wektorów przez liczbę

Wektorów nie wolno mnożyć przez inne wektory. Zwrot wektora zostaje taki sam jeśli czynnik jest liczba dodatnią, ale zwrot wektora zmienia się w przeciwną stronę jeśli czynnik liczbą ujemną. Wektory można tez mnożyć sposobem rysunkowym.
Przykład mnożenia
Pewien wektor ma współrzędne [-4,2]
= [ -4,2]
Chcemy pomnożyć ten wektor przez 2
2 =

Metoda na rysunku wygląda tak że wystarczy wektor powiększyć lub pomniejszyć o daną liczbę.
1.

2.

Zastosowanie wektorów w geometrii

Wektory mogą służyć do potwierdza różnych wyników w matematyce.

Przykład potwierdzania wyniku w matematyce.

Wybierzmy dwa boki trójkąta ABC. Wybraliśmy boki AB i AC. Zaznaczamy je jako wektory i . Wektor to inaczej – , ponieważ jest przeciwny do wektora , natomiast to inaczej wektor. Co oznacza że wektor jest równy wektorom – + .

= – +

gdzie:
wektor

– minus znaczy, że ma zwrot przeciwny do

wektor to inaczej wektor wektor można też zapisać jako sumę – +

wektor to inaczej

Po tym znajdujemy środek obydwu boków (AB i AC). Zaznaczamy środek AB jako P, a środek AC jako Q. W ten sposób powstają trzy nowe wektory:


.

Wektor jest dwa razy krótszy od wektora ,

Wektor jest dwa razy krótszy od wektora .

= 1/2 = 1/2

= 1/2 = 1/2

Punkt P jest środkiem AB, a punkt Q jest środkiem AC.

Za pomocą danych na temat wektora 1/2 i 1/2, to można obliczyć długość wektora . Wektor to inaczej wektor – 1/2 ponieważ jest przeciwny do wektora , a wektor to inaczej 1/2. To znaczy, że wektor jest równy -1/2 + 1/2 .

= -1/2 + 1/2

= 1/2 ponieważ BC jest równe – + , więc to połowa . Znak jest ujemny -1/2 , ponieważ BA jest przeciwny do AB.

Na końcu przeprowadzony zostanie dowód. Wektory i mają ten sam kierunek i są do siebie równoległe, więc odcinek PQ (który łączy środek boków AB i AC) także musi być równoległy do boku BC. Poza tym wektor ma połowę długości wektora , więc długość odcinaka PQ również musi być równa połowie długości boku BC.

Prędkość wektorowa

Prędkość wektorową średnią definiujemy jako iloraz zmiany wektora położenia do czasu w jakim ta zmiana nastąpiła.

gdzie
to prędkość wektorowa średnia,

to wektora położenia,

to czas.

Długość wektora opisującego prędkość nazywamy szybkością.

Przykład 1

Oblicz średnią prędkość wektorowa, jeżeli ciało porusza się z punktu A = (2;1) do punktu B + (5;-3) w czasie t = 2.

W pierwszej kolejności obliczamy współrzędne zmiany wektora położenia .

= [5;-3]-[2;1] = [3;-4].

Ponieważ średnią prędkość zmiany wektora to iloraz zmiany wektora przemieszczania przez czas, w którym ta zmiana zachodzi, więc mamy:

=

Zatem średnia prędkość wektorowa ma współrzędne [1,5;-2].

Przyspieszenie jako wektor

Przyspieszenie średnie definiujemy jako stosunek zmiany wektora prędkości do czasu, w jakim ta zmiana nastąpiła.

gdzie,

to przyspieszenie średnie,

to zmiana wektora prędkości,

to czas.

Siła jako wektor

W mechanice klasycznej siłę można zdefiniować jako iloczyn masy i przyspieszenia.

gdzie:

to siła,

m to masa,

to przyspieszenie.

Przykład 2

Oblicz współrzędne wektora siły, która ciału o masie 5 kg nadaje przyspieszenie opisujące się wektorem o współrzędnych [6;4].

Ponieważ siła jest iloczynem masy i wektora przyspieszenia, więc

= m * = 5 * [6;4] = [30;20].

Zatem opisana siła ma współrzędne [30;20].

Praca jako iloczyn skalarny wektorów

Ogólnie praca to miara ilości energii przekazywanej między układami. Jeżeli ruch ciała jest prostoliniowy a wektor siły jest stały, pracę (W) tej siły określa wzór:

gdzie,

jest wektorem przemieszczenia,

jest kątem między wektorem siły a wektorem przemieszczania.

Przykład 3

Oblicz pracę wykonaną nad ciałem, które przemieściło się z punktu A – (-2;3) do punktu B = (31) pod wpływem siły o współrzędnych [3;4].

Wektor przemieszczania ma współrzędne [3-(-2); 1 – 3] = [5;-2]. Zatem praca [3;4] o [5;-2] = 3 * 5 + 4 -(-2) = 15 – 8 = 7.