Wektory

Definicja wektora
Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów. Pod względem graficznym wektor przypomina strzałkę. Każdy wektor oznaczamy małymi literami, np. lub za pomocą dwóch punktów: początkowego i końcowego wektora,
np. .

Wektor zawsze musi posiadać trzy cechy:
-długość (jest również nazywana wartością lub modułem),
-kierunek (jest wyznaczony prostą, na której położony jest wektor),
-zwrot (jest wyznaczony przez grot strzałki).

Wektory zaczepione (w układzie współrzędnych)
Współrzędne wektora zapisujemy w nawiasie kwadratowym, np. [1, 2]. Jeżeli mamy do czynienia z wektorem w układzie współrzędnych to, aby obliczyć długość wektora należy punkt współrzędnych końca wektora odjąć od punktu współrzędnych początku wektora, czyli wygląda to następująco:
Punkt A (, ) jest początkiem wektora, a punkt B (, ) jest końcem tego wektora, czyli:
= [, ]

Przykład:
Oblicz współrzędne poniższego wektora.

Widzimy w powyższym układzie współrzędnych wektor , którego współrzędne wynoszą A (0, 1), B (6, 3). Obliczamy współrzędne tego wektora.
= [, ] = [6, 2]

Odp. Podany wektor ma współrzędne [6, 2].

Równość dwóch wektorów
Równość dwóch wektorów jak sama nazwa wskazuje to są wektory mające takie same współrzędne, zwrot, kierunek i długość.
Przykład:

Obliczmy długości tych dwóch wektorów.
Do obliczania długości wektora w układzie współrzędnych stosuje się twierdzenie Pitagorasa.
Widzimy, że współrzędne tych dwóch wektorów wynoszą [2, 5].
,
czyli oba wektory mają długość .
Na powyższym rysunku mamy do czynienia z dwoma równymi wektorami (mają takie same współrzędne [2, 5], ten sam zwrot, ten sam kierunek i długość).

Udowadnianie twierdzeń
Za pomocą wektorów możemy również udowadniać twierdzenia.
Na poniższej ilustracji jest trójkąt ABC. Punkt D jest środkiem odcinka AC, a punkt E jest środkiem odcinka BC.
Udowodnimy wykorzystując wektory, że długość odcinka DE jest równa połowie długości odcinka AB.

Wykażę, że =

= += + = (+) =