Wielokąty foremne

Wielokąty foremne

Wielokąty foremne
Są to figury wypukłe, które mają wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty tej samej miary.

Własności wielokątów foremnych:
-wszystkie boki są równej długości
-wszystkie kąty są tej samej miary
-można na nich opisać okrąg
-można w nie wpisać okrąg
-środki okręgów wpisanych i opisanych pokrywają się

Najpopularniejsze wzory stosowane w wielokątach foremnych
-wzór na miarę kąta wewnętrznego:
-wzór na miarę kąta środkowego:
-wzór na obwód:

Trójkąt foremny
-trójkąta foremny to inaczej trójkąt równoboczny
-trójkąt ma trzy boki, a każdy z kątów wewnętrznych ma miarę 60°
-kąt środkowy jest równy 360° przez liczbę boków wielokąta, czyli:
-suma kątów: 180°
-da się go skonstruować za pomocą cyrkla i linijki
-obwód wynosi 3a, gdzie a to bok trójkąta foremnego
-wzór na wysokość:
-pole jest równe:
-długość promienia okręgu wpisanego:
-długość promienia okręgu opisanego:
-punkt przecięcia symetralnych i dwusiecznych leży w punkcie przecięcia wysokości

Czworokąt foremny
-czworokąt foremny to inaczej kwadrat
-kwadrat ma cztery boki (długość boku jest równa ), a każdy z jego kątów wewnętrznych ma miarę 90°
-kąt środkowy wynosi
-suma miar kątów wewnętrznych: 360°
-da się go skonstruować za pomocą cyrkla i linijki
-obwód wynosi 4a, gdzie a to bok trójkąta
-wzór na pole:
-przekątna jest równa
-promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie długości boku kwadratu:
-promień okręgu opisanego na kwadracie to połowa przekątnej kwadratu:

Pięciokąt foremny
-składa się z pięciu trójkątów równoramiennych
-ma pięć boków, a każdy z jego kątów wewnętrznych ma 108°
-kąt środkowy ma miarę:
-suma kątów:
-da się go skonstruować za pomocą cyrkla i linijki
-obwód wynosi 5a
-przekątna ma długość

Obliczanie kąta wewnętrznego pięciokąta foremnego:
Kąt między ramionami trójkąta:
Więc kąt przy podstawie trójkąta wynosi:
Zatem kąt wewnętrzny pięciokąta jest dwa razy większy od kąta :

Sześciokąt foremny
-składa się z sześciu trójkątów równobocznych
-ma sześć boków, a miara kąta wewnętrznego wynosi 120°
-da się go skonstruować za pomocą cyrkla i linijki
-każdy jego kąt środkowy ma miarę 60°
-promień okręgu opisanego na sześciokącie równy jest jego bokowi R=a
-promień okręgu wpisanego w sześciokąt wynosi
-obwód jest równy 6a
-pole powierzchni wynosi
-dłuższa przekątna ma długość 2a
-krótsza przekątna ma długość

Wyznaczanie wzoru na pole sześciokąta foremnego:
Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Każdy z tych trójkątów ma wzór na pole . Zatem sześć trójkątów równobocznych będzie miało wzór: .

Siedmiokąta foremnego i każdego następnego o nieparzystej liczbie boków nie da się ich skonstruować za pomocą cyrkla i linijki. Natomiast ośmiokąt i następne wielokąty foremne o parzystej liczbie boków da się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki.