Wielomian

Wielomian jest to funkcja przedstawiona za pomocą poniższego wzoru:

W(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + ………+ anxn

a0 , a1 , a2 ………….. an – są to współczynniki wielomianu
n – jest to stopień wielomianu

Przykład 1.
W(x) = 1 + 2x – 3x2 + x3

a0 = 1
a1 = 2
a2 = -3
a3 = 1

Jest to wielomian stopnia trzeciego.

Przykład 2.
W(x) = 4 + 5x + x2 + 4x3 – 2x4 + x5

a0 = 4
a1 = 5
a2 = 1
a3 = 4
a4 = -2
a5 = 1

Wielomiany możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

Dodawanie i odejmowanie wielomianu polega na dodawaniu lub odejmowaniu współczynników stojących przy ich odpowiednich stopniach.

W(x) + H(x)
W(x) = 4x – 2 + 6x3 + 4x5 – 2x4 – x2 = -2 + 4x – x2 + 6x3 – 2x4 + 4x5
H(x) = 3 + 4x + 6x4 + 2x5 – x2 – 3x3 = 3 + 4x – x2 – 3x3 + 6x4 + 2x5

(-2 + 4x – x2 + 6x3 – 2x4 + 4x5) + (3 + 4x – x2 – 3x3 + 6x4 + 2x5) = 6x5 + 4x4 3x3 – 2x2 + 8x + 1

Mnożenie wielomianu polega na mnożeniu wszystkich wyrazów danego wielomianu. Współczynniki wielomianu mnożymy, natomiast potegi dodajemy (mnożenie potęg polega na ich dodawaniu).

W(x) = (3x – 2)
H(x) = x2 + 5

(3x – 2)(x2 + 5) = 3x3 + 15x – 2x2 – 10 = 3x3 – 2x2 + 15x – 10

Dzielenie wielomianów polega na dzieleniu pisemnym w wyniku, którego otrzymujemy iloraz oraz ręsztę. Przed rozpoczęciem dzielenia musimy uporządkować wyrazy wielomianu od największego do najmniejszego.

W(x) = 2x2 + 4 – x + x3 = x3 + 2x2 – x + 4
H(x) = x + 2

x3 + 2x2 – x + 4 = (x + 2) (x2 – 1) + 6

Równość wielomianu: dwa wielomiany są równe jeśli są tego samego stopnia i odpowiednie współczynniki tych wielomianów są równe.

Rozkład wielomianu na czynniki
Metody rozkładu:
1. Wzory skróconego mnożenia
a2 – b2 = (a-b)(a+b)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

2. Wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias

3. Zmiana trójmianu kwadratowego na postać iloczynową

4. Grupowanie wyrazu (jest to rozszerzenie wyłączenia wspólnego czynnika przed nawias)

5. Dzielenie wielomianu przez dwumian x-p gdzie p jest pierwiastkiem wielomianu