Opracowanie:
Wielomian charakterystyczny

Wielomian charakterystyczny

Zweryfikowane

Wielomian charakterystyczny jest wielomianem, który zawiera informacje o kilku własnościach macierzy kwadratowej, a szczególnie jej wartości własnej, wyznaczniku oraz o śladzie. Kiedy {displaystyle Ain M_{n}(mathbb {K} ),} gdzie K to pewne ciało, to wielomian charakterystyczny {displaystyle p_{A}(t)} macierzy kwadratowej {mathbf {A}} zapisuje się w taki sposób: {displaystyle p_{A}(t)=det(tmathbf {I} -mathbf {A} ).}

Przykład: Aby obliczyć wielomian charakterystyczny macierzy {mathbf {A}} o wartości:
{displaystyle mathbf {A} ={begin{pmatrix}2&1\-1&0end{pmatrix}}},
należy wyliczyć wyznacznik macierzy:
{displaystyle tmathbf {I} -mathbf {A} ={begin{pmatrix}t-2&-1\1&tend{pmatrix}}}.
Wtedy ten wielomian ma postać:
{displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1.}

Wielomian charakterystyczny ma wiele własności. Są nimi między innymi:
Stopień tego wielomianu macierzy ntimes n równa się . Wtedy wyraz wolny wielomianu {displaystyle p_{A}(0)} wynosi dokładnie {displaystyle (-1)^{n}cdot det(mathbf {A} ),} a współczynnik przy równa się {displaystyle -operatorname {tr} (mathbf {A} )}, gdzie tr to ślad macierzy. W takim wypadku dla macierzy 2 times 2 zachodzi {displaystyle p_{A}(t)=t^{2}-operatorname {tr} (mathbf {A} )t+det(mathbf {A} ).}
Wszystkie wielomiany rzeczywiste o nieparzystym stopniu posiada najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. To oznacza, że wszystkie macierze o stopniu nieparzystym mają przynajmniej jedną rzeczywistą wartość własną.
Takie same wielomiany charakterystyczne mają macierze podobne. Należy pamiętać, że taka zależność działa tylko w jedną stronę, bo macierze, które mają takie same wielomiany charakterystyczne mogą, ale nie muszą być podobne.
Macierz {mathbf {A}} podobna jest do macierzy trójkątnej. Dzieje się tak tylko i wyłącznie wtedy, gdy jej wielomian charakterystyczny można rozłożyć na czynniki liniowe nad K.

Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
To top