Wielomiany

WIELOMIANY

Zanim dojdziemy do tego co to jest WIELOMIAN to najpierw wyjaśnijmy kilka innych, przydatnych pojęć.

Jednomian to wyrażenie, które składa się z jednej liczby albo jednej lub kilku liter.
np. 2x; -4xy; 36x2.

Dwumian to wyrażenie, które składa się z dwóch jednomianów, które połączone są dodawaniem lub odejmowaniem.
np. 2 – y; x – 15; y2 – 2x

Trójmian to analogicznie wyrażenie, które składa się z trzech jednomianów, które są połączone dodawaniem lub odejmowaniem.
np. ax + 3y + 2; x2 + 15x + 8

Oczywiście moglibyśmy wymyślać kolejne nazwy ale pozostaje pytanie po co? Skoro możemy nazwać je wielomianami.

Czyli wielomian to suma jednomianów. Wielomianem można również nazwać dwumian, trójmian, a także jednomian.

Wielomiany składają się z kilku różnych zmiennych – ich wzór może składać się z kilku innych liter.
np. x3 – x2 – y2 + 3y + 2

Zazwyczaj zajmujemy się wielomianami tylko jednej zmiennej, np. zmiennej x.
np. x + 3; x2 + 3x – 2

Wielomiany mają także definicje.
Wielomiany o stopniu n i zmiennej x nazywamy wyrażenie pod postacią :

anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x + a0

gdzie an, an-1, … , a2, a1, a0 to ustalone liczby rzeczywiste, n należące do wzoru liczb naturalnych i an nie może być równe zeru.
np. 4x – 6; y2 – 3

Wielomian W (x) = 0 to wielomian zerowy i nie ma określonego stopnia.

Dwa niezerowe wielomiany są równe tylko wtedy, gdy mają ten sam stopień i równe współczynniki przy potęgach.
Gdy zmienimy znaki wszystkich jednomianów, które tworzą wielomian na przeciwne, to otrzymamy wielomian przeciwny.

Odejmowanie, dodawanie i mnożenie nie sprawiają problemów i zawsze otrzymujemy z nich wielomian.
Ale te działania podlegają pewnym, znanym prawom.
Dodawanie i mnożenie są przemienne oraz łączne.
Pojawia się tutaj również coś takiego jak prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania wielomianów.

Istnieje również coś takiego jak funkcja wielomianowa.

Funkcja wielomianowa to funkcja, której wzór jest wielomianem. Bardzo często mówi się na nią po prostu „wielomian”. Oznaczamy ją literą W, a czasem również P, Q, R.
np. W (x) = 5x – 8

Jak obliczyć wartość wielomianu ?
Wartość wielomianu obliczymy tak samo jak wartość funkcji i wyrażeń algebraicznych. Jedynie podstawiamy zamiast x podaną liczbę.

Stopień wielomianu to nic innego niż najwyższa potęga x w nim. Jeśli mamy kilka potęg w wielomianie to analogicznie najwyższa będzie jego stopniem.

Rozkład wielomianu na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki, polega na zapisaniu jego wzoru w postaci iloczynowej.
np. W (x) = x2 – 6 —-> to jest postać ogólna
W (x) = (x – 3) (x + 3) —-> postać iloczynowa

Chociaż rozkład wielomianu nie zawsze musi istnieć
np. W (x) = x2 + 1

Jeśli mamy wielomian w postaci iloczynowej, to łatwo go przekształcić do postaci ogólnej. Trzeba tylko pomnożyć nawiasy – tak jak się mnoży wyrażenia algebraiczne.

Sposoby rozkładu wielomianu na czynniki :

wyciąganie czynnika przed nawias
wzory skróconego mnożenia
delta
grupowanie wyrazów

Metoda wyciągania czynnika przed nawias polega jak sama nazwa mówi na wyciągnięciu jakiejś dowolnej cyferki lub literki występującej w wielomianie przed nawias.
Na początku sprawdzamy czy nie da się wyciągnąć wspólnego czynnika ze wszystkich jednomianów.
np. W (x) = x2 – 6x
Wspólny czynnik to x.
W (x) = x2 – 6x = x(x – 6)

Metoda wykorzystująca wzory skróconego mnożenia

W tej metodzie najczęściej wykorzystuje się ten wzór :
a2 – b2 = (a – b) (a + b)

Delta

Metoda delty to metoda zamiany z postaci ogólnej na postać iloczynową.
Tę metodę stosuje się do rozkładania czynników stopnia drugiego. W przypadkach, które są proste używamy wzorów skróconego mnożenia,
np. x2 – 6 = (x – 3) (x + 3)

Mogą zajść trzy przypadki :
jeśli delta jest mniejsza od zera, to rozkład nie istnieje
jeśli wyszła większa od zera, to ma więcej niż jedno miejsce zerowe
jeśli jest równa zero, to ma jedno miejsce zerowe

Metoda grupowania wyrazów stosuje się do rozkładania wielomianów o stopniu czwartym lub wyższym.

Jeśli we wzorze znajdują się 4 wyrazy, to wtedy możemy wyciągnąć wspólny czynnik tylko z dwóch wyrazów, a dopiero później wspólny czynnik trzeciego i czwartego wyrazu.

Dodawanie i odejmowanie

Polega na tym samym co, dodawanie i odejmowanie wyrażeń algebraicznych.

Dzielenie wielomianów

Możemy je podzielić metoda pisemną lub schematem Hornera. Przy ich dzieleniu również możemy otrzymać resztę.
Jest ono podobne do dzielenia liczb całkowitych.

PAMIĘTAJ – dzielenie należy rozpocząć od uporządkowania od największej do najmniejszej potęgi wielomianu.

Równość wielomianu

Dwa wielomiany są sobie równe wtedy, gdy są tego samego stopnia i współczynniki przy odpowiednich potęgach są sobie równe, a także jeśli są to wielomiany zerowe.
Ważne jest to żeby liczby przy tych samych potęgach były takie same, stopień nie ma tutaj znaczenia. Może to być zero, gdy w wielomianie nie występuje potęga.

Równania wielomianowe
W takich równaniach niewiadoma x występuje tylko w potęgach o wykładniku naturalnym.
np. 3x2 + 4x + 5 = 0

Równania rozwiązujemy szukając miejsc zerowych.

Metoda rozwiązywania równań wielomianowych

Metoda rozwiązywania równań o trzecim lub wyższym stopniu :

przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania, po prawej ma zostać zero
rozkładamy to co jest na lewej stronie na iloczyn czynników
przyrównujemy nawiasy do zera
rozwiązujemy resztę równań
otrzymujemy wynik

Krotność pierwiastka wielomianu

Aby wyznaczyć pierwiastek wielomianu i jego krotności, trzeba rozłożyć wielomian na iloczyn czynników.
Wtedy krotność pierwiastka wielomianu jest potęgą nawiasu zerującą pierwiastek.

Twierdzenie Bezouta

Twierdzenie :

Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian (x – a) tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu.

Wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych

Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu są całkowite, to możemy wyznaczyć jego pierwiastki wymierne (jeśli istnieją) i całkowite.

Schemat Hornera

Schemat Hornera to sposób na dzielenie wielomianów.

Aby podzielić wielomian tym schemat wszystkie potęgi muszą być ułożone od największej do najmniejszej.
Dwumian musi być stopnia pierwszego.

Metoda ta jest czasem nieprzydatna ponieważ schematem Hornera nie podzielimy wielomianu dzieląc go przez dwumian o stopniu wyższym niż pierwszy.

Tabelka schematu Hornera

Najpierw rysujemy tabelkę.
Następnie w jej pierwszym wierszu wpisujemy po kolei współczynniki uporządkowanego wielomianu.
Środkowy wiersz pozostawiamy sobie na obliczenia, które będziemy wykonywać.
W lewym rogu w około drugim/trzecim wierszu wpisujemy liczbę, która jest miejscem zerowym dwumianu.

PAMIĘTAJ – jeśli wpisując współczynniki do tabelki nie będzie kolejnej potęgi wielomianu to w jej miejsce trzeba wpisać zero – ona będzie nadal istnieć ale ze współczynnikiem 0.

Krok kolejny – przepisujemy pierwszy współczynnik bez żadnych zmian do dolnego wiersza.
Tak otrzymaną liczbę mnożysz przez miejsce zerowe dwumianu, a później odejmujesz współczynnik z pierwszego wiersza w tabeli.
Wynik wpisujesz do kolejnej komórki dolnego wiersza w schemacie.

Tym sposobem rozwiązujemy wszystko do końca, a wynik wpisujemy do prawej dolnej komórki tabeli.

Wykres wielomianu

Żeby narysować wykres musimy dostosować się do pewnych kroków :

Najpierw musimy przekształcić wzór do postaci iloczynowej
Wyznaczamy miejsca zerowe
Określamy stopień wielomianu
Rysujemy wykres :
+ układ współrzędnych
+ na osi x zaznaczamy miejsca zerowe
+ określamy miejsca od którego będziemy rysować wykres
+ rysujemy linię wykresu od najbliższego miejsca zerowego
+ po przejściu przez wszystkie miejsca zerowe, możemy zakończyć rysowanie wykresu

Nierówności wielomianowe

Rozwiązuje się je bardzo podobnie do równań wielomianowych ale różnica polega na tym, że musimy narysować wykres i odczytać z niego rozwiązanie.

Metoda rozwiązywania nierówności trzeciego stopnia i wyższych jest taka :

Przenosimy wszystko na lewą stronę aby po prawej zostało zero. Lewą stronę traktujemy jako wzór wielomianu, który będzie nam potrzebny do narysowania wykresu.
Wyznaczamy miejsca zerowe.
Rysujemy wykres i odczytujemy z niego rozwiązanie.

Ciekawostki

Pewna legenda na temat powstania wielomianów.
W 1534 roku odbywały się zawody naukowe, których uczestnikami byli Włosi – Mario Fior i Niccolo Fontana.
Fior już wcześniej był zwycięzcą wielu takich turniejów ponieważ znał równania trzeciego stopnia.
Zawody polegały na rozwiązaniu równań przygotowanych przez przeciwnika przez 50 dni. Zadania Fiora dotyczyły równań trzeciego stopnia ale tydzień przed zakończeniem zawodów Fontana odkrył metodę na rozwiązywanie takich zadań i zwyciężył.
Wiele osób chciało poznać jego metodę lecz on nikomu jej nie zdradził.
Dopiero po upływie 10 lat wyjawił ją Girolamowi Cardano – a on opublikował ją pod własnym nazwiskiem.

Własności wielomianów są wykorzystywane przez naukowców do tworzenia np. satelit lub mostów.