Własności liczb naturalnych

Wielokrotności
Wielokrotności liczb otrzymujemy, mnożąc daną liczbę przez kolejne liczby naturalne. Przykładem może być: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 itd.
Liczbę 3 mnożymy przez 0,1,2,3,4,5,6,7 itd. Pamiętajmy iż 0 jest wielokrotnością każdej liczby naturalnej.
Przejdźmy teraz do tego, jak obliczyć NWW(najmniejsza wspólna wielokrotność).
NWW(8,12)- najmniejsza wspólna wielokrotność dla 8 i 12 wynosić będzie 24.
Najpierw wypisujemy wielokrotności 8, czyli 8, 16, 24, 32 itd. Teraz wypisujemy wielokrotności 12, czyli 12,24,36. Wybieramy więc taką wielokrotność, która będzie wspólna dla 8 i 12, a zarazem najmniejsza. Widać więc doskonale iż jest do 24.
Przejdźmy teraz do przykładu, gdzie liczby będą większe, np. NWW(120, 140). Najpierw musimy rozłożyć 120 i 140 na czynniki pierwsze. Dla 120 będzie to zatem rozkład: 2,2,2,3,5. 120 dzielimy na dwa i wychodzi nam 60. 60 dzielimy na 2, co daje 30. 30 dzielimy na 2 co daje 15. 15 dzielimy na 3, co daje 5. 5 dzielimy na 5, co daje 1.
Rozkład na czynniki 140 to: 2,2,,5,7.
Teraz, aby wyliczyć NWW , musimy przepisać rozkład na czynniki jednej z liczb, np. 120 i między każdą liczbą wstawiamy znak mnożenia. Gdy już to zrobimy, spoglądamy na rozkład na czynniki liczby 140 i wymnażamy czynniki z liczby 120 przez takie czynniki liczby 140, które nie występowały w rozkładzie na czynniki liczby 120. Otrzymujemy zatem 2*2*2*3*5*7. Wymnożyliśmy tylko przez 7, ponieważ nie było jej w rozkładzie na czynniki liczby 120. Można również najpierw przepisać rozkład na czynniki liczby 140, otrzymalibyśmy wówczas 2*2*5*7*2*3.
Dzielniki
Dzielnik to liczba, która dzieli się bez reszty, np. liczby, przez które liczba 15 jest podzielna, nazywamy jej dzielnikami. NWD(największy wspólny dzielnik), np. dla liczb 8 i 12 obliczamy w następujący sposób: najpierw wypisujemy dzielniki liczby 8, czyli 1,2,4,8, a teraz liczby 12, czyli 1,2,3,4,6,12. Wybieramy teraz więc taki wspólny dla obu liczb dzielnik, który jest największy. Jest to 4.
Teraz przejdźmy do tego, jak obliczyć NWD na większych liczbach. NWD(120,140) wynosił będzie 2*2*5. Najpierw robimy rozkład na czynniki, tak jak w przypadku NWW. Teraz wybieramy liczby, które powtarzają się zarówno w rozkładzie na czynniki liczby 120 jak i 140.
Widzimy, że powtarzają się liczby 2,2,5. Przepisujemy zatem je i wstawiamy pomiędzy nimi znak mnożenia.
NWD możemy obliczyć także innym sposobem. Mianowicie z algorytmu Euklidesa, np NWD(42,112). Najpierw od większej liczby, czyli 112 odejmujemy liczbę 42. Następnie obok zapisujemy wynik i skreślamy liczbę z tych trzech największą. Teraz od wyniku, czyli od 70 odejmujemy liczbę 42. Wychodzi 28. Znów przekreślamy liczbę największą, czyli 70. Teraz od 42 odejmujemy liczbę 28. Wychodzi 14. Znów skreślamy liczbę z tych trzech największą, czyli 42. Od 28 odejmujemy 14 i znów wychodzi 14. Pozostało teraz tylko od 14 odjąć 14. Wychodzi 0. Algorytm ten mówi iż ostatnia niezerowa liczba jest szukanym NWD, a więc 14.
Cechy podzielności
Liczba dzieli się przez 2, kiedy jej ostatnią cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8.
Liczba jest podzielna przez , gdy jej suma cyfr jest liczbą podzielną przez 3.
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 bądź 5.
Liczba jest podzielna przez 9, jeśli jej suma cyfr jest liczbą podzielną przez 9.
Liczba jest podzielna przez 10 gdy jej ostatnią cyfrą jest 0.
Liczby pierwsze i złożone
Liczba pierwsza, to liczba naturalna, która ma dokładnie 2 dzielniki.
Przykładami liczb pierwszych są: 2,3,5,7,11,13,17,19,23
Liczba złożona, to liczba, która ma więcej niż dwa dzielniki i jest różna od 0.
Przykładami takich liczb są: 4,6,8,9,10,12
Liczby, które nie są ani pierwsze, ani złożone to 0 i 1.
Rozkład liczby na czynniki pierwsze
Każdą liczbę złożoną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. np. rozkładem liczby 4 na czynniki będzie 2*2, rozkładem na czynniki liczby 140 będzie 2*2*5*7, czy też rozkładem na czynniki liczby 78 będzie 2*3*13. Jeśli chcemy rozłożyć daną liczbę na czynniki pierwsze, możemy najpierw zacząć od zapisania tej liczby w postaci iloczynu dwóch liczb, a dopiero później szukać rozkładu na czynniki pierwsze.