W tej bardzo obszernej dziedzinie jaką jest matematyka, wyróżniamy kilkanaście rodzajów funkcji. Mamy funkcje liniowe, wykładnicze, kwadratowe, wielomianowe, potęgowe, homograficzne, sinus, tangens, cosinus, cotangens, logarytmiczne. Jeśli przedstawiamy funkcję graficznie, rysując ją w układzie współrzędnych, mówimy o wykresie funkcji. Poniżej opiszę różne funkcje, sposoby ich rysowania oraz ich charakterystyczne cechy.
Czym jest oraz jak się rysuje funkcję liniową?
Wzór ogólny funkcji liniowej to , współczynnik a to nic innego jak współczynnik kierunkowy prostej. Wyraz wolny to b. Od współczynnika kierunkowego zależy nachylenie prostej, która jest wykresem tej funkcji. Gdy prosta jest równoległa do osi Y, mamy do czynienia z szczególnym przypadkiem tej funkcji. Aby rozpocząć rysowanie takiej funkcji najlepiej na początku przeczytać wzór funkcji. Następnie wyznaczamy minimum 2/3 punkty pomocnicze, z pomocą których będziemy mogli bez problemu narysować ten wykres. Tak więc zaczynamy od zrobienia tabelki. Wybierając argumenty (x), polecam wybierać wartości łatwe w obliczaniu, a więc -1 lub 0 lub 1. Inne wartości również dobrze się sprawdzą, lecz rachunki będą bardziej pracochłonne lub też wyczerpujące. Spróbujmy narysować wspólnie wykres funkcji . Dla ciągłego ćwiczenia swoich sprawności matematycznych polecam na osobnej kartce w kratkę, również narysować taki wykres. Po narysowaniu go będziesz mogła/mógł bez problemu sprawdzić, czy jest on narysowany poprawnie. Podczas tworzenia tabelki należy uwzględnić, ile będzie w niej wierszy i kolumn. Przy dwuwymiarowych wykresach, tabelka będzie się składać z dwóch wierszy.
x
-1
0
1
y
0
1
2
Następnie odczytujemy z tabelki współrzędne punktów: A( -1, 0), B(0, 1), C(1, 2). Przechodzimy więc do rysowania wykresu.
Gotowy wykres prezentuje się tak jak na moim rysunku powyżej. Skoro wiemy już jak rysować takie wykresy, warto by poznać najważniejsze wzory oraz cechy charakteryzujące funkcję liniową.
Jednym z najczęściej używanych wzorów podczas omawiania funkcji liniowej to wzór, z pomocą którego możemy obliczyć miejsce zerowe. Oczywiście, jeżeli obliczamy te miejsce, to obliczamy tym samym współrzędną X, gdyż jak sama nazwa mówi, miejsce zerowe to przecięcie osi X, która przecina się w punkcie (0, 0) z osią Y. Dlatego też współrzędne miejsca zerowego to zawsze (x, 0). Wzór ten to:
. Oczywiście, aby funkcja liniowa istniała i miała miejsce zerowe, współczynnik a musi być różny od zera.
Skoro potrafimy już obliczać miejsce zerowe funkcji w teorii, zajmiemy się teraz przedziałami monotoniczności funkcji. W zależności od współczynnika a, funkcja może być rosnąca, malejąca lub stała. Jeśli mamy przypadek, gdzie a=0, powstała funkcja jest funkcją stałą.
Gdy współczynnik a jest większy od zera, a więc a>0, funkcja liniowa jest funkcją rosnącą. Funkcja tak jakby pnie się do góry. Gdy mamy do czynienia ze współczynnikiem a mniejszym od zera, a więc a<0, funkcja liniowa jest funkcją malejącą. Funkcja tak jakby spada na dół.
Rozwiążmy teraz zadanie
Zadanie 1 Oblicz miejsce zerowe oraz podaj monotoniczność funkcji y=5x-15
Rozwiązanie 1 a=5 b=-15
Miejsce zerowe jest gdy x = 3.
Aby podać monotoniczność funkcji, wystarczy określić jej współczynnik a. Jest on większy od zera, a więc funkcja jest rosnąca.
Teraz nadszedł czas by przejść do omawiania nieco trudniejszej funkcji, jaką jest funkcja kwadratowa. Tę przygodę zaczynamy od napisania sobie wzoru ogólnego funkcji kwadratowej. Prezentuje się on następująco:
. Skoro wiemy już, jaki wzór ma ta funkcja, możemy powiedzieć o tym, jak współczynnik a wpływa na wygląd paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej. Jeśli a>0, w górę są skierowane ramiona paraboli. Jeśli a<0, w dół są skierowane ramiona paraboli. Gdy a=0, mamy do czynienia z z funkcją liniową. Jeśli musimy narysować wykres, najlepiej również posłużyć tabelką, taką jak w przypadku funkcji liniowej. Tutaj zawsze warto podstawiać do wiersza z argumentami wartości z plusem i minusem w parach, a więc np. -1 i 1, -2 i 2 oraz 0. Ponadto podczas rysowania należy zwrócić uwagę na to, czy dobrze zaznaczyliśmy miejsca zerowe (o ile takie są), oraz czy poprawnie zaznaczyliśmy punkt, w którym wykres przechodzi przez oś Y (o ile następuje takie przecięcie). Aby poprawnie obliczyć miejsce/miejsca zerowe/ich brak powinniśmy posłużyć się poniższymi wzorami. W zależności od wyniku delty, równanie kwadratowe posiada: 0 miejsc zerowych, gdy delta jest ujemna Δ<0 1 miejsce zerowe Δ=0 2 miejsca zerowe, gdy delta jest większa od zera Δ>0. Gdy Δ=0, aby obliczyć miejsce zerowe wystarczy użyć wzoru: Gdy Δ>0, aby obliczyć miejsca zerowe, wystarczy użyć dwóch wzorów, które różnią się jednym znakiem: Aby obliczyć wierzchołek paraboli, również możesz użyć kilku wzorów. Wierzchołek paraboli ma współrzędne [p, q].
Jeśli chcielibyśmy obliczyć punkt przecięcia osi Y, wystarczy odczytać ze wzoru funkcji współczynnik c i podstawić go do poniższego punktu: (0, c).
Zadanie 1 Oblicz pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, określonej wzorem:
a=1 b=8 c=-14
Następnie podstawiamy do wzoru na p, a więc:
Odpowiedź: Pierwsza współrzędna paraboli to -4.
Na koniec zajmiemy się funkcją wielomianową, a więc mamy x przynajmniej w 3 potędze. Funkcja wielomianowa to funkcja, w której spotykamy x w potędze większej niż 2. Od czego zaczynamy szkicowanie takiego wykresu. Przede wszystkim konieczna jest znajomość pojęcia funkcji liniowej, kwadratowej, krotności pierwiastków (miejsc zerowych) oraz rozwiązywania równań wielomianowych. Dzięki analizie poniższego „planu działania”, będziesz w stanie Swoje zadania zaczynamy napisania założeń, oraz od przekształcenia wzoru funkcji do postaci iloczynowej. Dzięki założeniom dowiadujemy się o dziedzinie funkcji. A co to ta postać iloczynowa? To jak to ubiorę w słowa jest mało fachowo, lecz dokładnie oddaje tego sens. Wzór ten musi być w takiej postaci, by następował iloczyn każdego z nawiasów, np.
. Posiadając tę postać z łatwo znajdujemy wszystkie miejsca zerowe. Miejscami zerowymi są: x=-2, x=3, x=-1, x=1. Każde z wypisanych miejsc zerowych występuje tylko raz w tej funkcji. Jeśli zdarzy się, że jeden z „nawiasów” jest np. w potędze 2, 3 itd. mamy do czynienia ze specjalnym miejscem zerowym. Oznacza to nic innego jak dwukrotność, trzykrotność itd. tego pierwiastka, który jest miejscem zerowym. Co ważne, krotność pierwiastków jest bardzoooo istotna podczas szkicowania wykresu. Zaznaczenie miejsc zerowych na osi X to kolejny krok. Należy jednak pamiętać i każdorazowo sprawdzać, czy dane miejsce zerowe należy do dziedziny. Następnym punktem jest sprawdzenie współczynnika a. W mojej przykładowej funkcji wielomianowej, na samym początku znajduje się współczynnik a, który jest równy 1. Z tego właśnie powodu nie wypisujemy tej jedynki na przodzie. W każdym innym przypadku zapisujemy tę wartość. U nas jedynka jest dodatnia (współczynnik a >0). Dzięki temu wiemy, że szkicowanie wykresu zaczynamy od miejsca powyżej osi X w prawym rogu. Współczynnik a ujemny mówi nam o rysowaniu wykresu od dolnego rogu. Kolejno, po „dojechaniu” do pierwszego pierwiastka (maksymalnie po prawej, czyli najbliżej grota osi), odczytujesz w powyższych obliczeń krotność miejsc zerowych. Zadajesz sobie pytanie: „czy ten pierwiastek jest parzysto-krotny?” (krotność tego pierwiastka jest parzysta). Jeżeli odpowiedź brzmi tak, postępujesz według następujących punktów. „Odbijasz” od tego miejsca zerowego (funkcja nie przebija osi X, jedynie do niej dochodzi). Następnie dochodzisz do następnego pierwiastka. Gdy trafisz do miejsca zerowego nieparzysto-krotnego, podczas rysowani wykresu „przechodzisz lub też przebijasz” przez ten punkt (przechodzimy przez oś X). Uwzględniając wszystkie pierwiastki, postępujesz według punktu 4, aż do narysowania całego wykresu. Zadanie 1 Wypisz pierwiastki i ich krotności z funkcji: wszystkie pierwiastki oprócz x=0 są jednokrotne. x=0 jest pierwiastkiem trzykrotnym.
Podsumowanie Na poniższych grafikach możesz zobaczyć, porównanie trzech opisanych przeze mnie wykresów funkcji.
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
