Wykresem funkcji homograficznej (czyli funkcji wymiernej o postaci , gdzie ≠ oraz ≠ ) jest hiperbola.
2 . Jak wygląda hiperbola?
Poniższy wykres ma wzór .
Jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, za wyjątkiem , czyli Tabela przedstawia wartości funkcji dla poszczególnych argumentów :
Jak możemy zauważyć, , np.
Jeśli chodzi o monotoniczność, to funkcja jest malejąca w przedziałach
oraz.
UWAGA! Nie możemy pomiędzy przedziałami napisać znaku sumy , gdyż o ile argument z pierwszego przedziału (np.-3) jest na pewno mniejszy od argumentu z drugiego (np. 4), to już < , co zaprzecza definicji funkcji malejącej. W tym przypadku monotoniczność musimy więc rozpatrywać w dwóch osobnych przedziałach.
Zbiorem wartości powyższej funkcji homograficznej jest:
. W postaci kanonicznej jest on równy:
, natomiast dziedzina:
. Funkcja nie ma miejsc zerowych!
Najłatwiej jest narysować hiperbole z funkcji w postaci kanonicznej, czyli:
, gdzie ≠ .
Jeśli
> , funkcja jest malejąca. Natomiast jeśli < , jest to funkcja rosnąca. Jej asymptotą pionową jest , a asymptotą poziomą .
W przypadku funkcji w postaci ogólnej, czyli
, gdzie ≠ oraz ≠ , asymptoty mają równania:
i .3 . Inne przykładowe wykresy funkcji homograficznej. Podsumowując, należy zapamiętać, że wykres funkcji homograficznej nazywamy hiperbolą.
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
