Wyłącz czynnik przed pierwiastek

Wyłącz czynnik przed pierwiastek

Wstęp:
W tym opracowaniu dowiesz się jak wyłączać czynnik przed pierwiastek.

Wyłącznie czynnika przed pierwiastek:
Czynność ta jest niezwykle ważne w matematyce, gdyż pozwala nam ona nieco uprościć sam zapis. Żeby wyłączyć jakiś czynnik przed pierwiastek musimy zrobić rozkład na czynniki pierwsze liczby znajdującej się pod pierwiastkiem. Następnie czynniki powtarzające się parzystą liczbę razy możemy wyciągnąć przed pierwiastek.
Przykładowo załóżmy, że mamy daną liczbę . Najpierw robimy rozkład na czynniki pierwsze liczby 12:

czyli 12 możemy zapisać jako iloczyn liczb 2, 2 oraz 3: 12 = 2 2 3, a tym samym . Teraz mamy dwa sposoby:
I sposób: patrzymy, która liczba z rozkładu na czynniki pierwsze powtarza się parzystą liczbę razy. Jest to oczywiście liczba 2, ponieważ pojawia się dwukrotnie. Liczby powtarzające łączymy w pary i liczymy ilość tych par: jest jedna para dwójek, dlatego wyłączmy liczbę 2 raz przed pierwiastek, czyli pod pierwiastkiem zostaje nam tylko 3, czyli:
.
II sposób:
Korzystamy z tego, że: (zał. a, b 0) i dodatkowo zauważamy, że skoro to również , co możemy jeszcze uprościć i zapisać jako: . Teraz korzystamy ze wzoru: (zał. ), czyli:
.

Często jest też tak, że czynnik przed pierwiastek możemy wyciągnąć na więcej niż jeden sposób, przykładowo , ale również . Dążymy jednak do tego, aby liczba przed pierwiastkiem była możliwie największa, a liczba pod pierwiastkiem możliwie najmniejsza (czyli dążymy do tego, aby wyłączyć największy czynnik przed pierwiastek). Przećwiczmy teraz poznane dwa sposoby na wyłącznie czynnika przed pierwiastek na poniższych przykładach:

Przykłady:
Wyłącz (możliwie największy) czynnik przed pierwiastek:
a)
b)
c) (zał. x 0)

a) Zaczynamy od rozkładu na czynniki pierwsze liczby 18:

A zatem

I sposób: patrzymy, która liczba z rozkładu na czynniki pierwsze powtarza się parzystą liczbę razy. Jest to oczywiście liczba 3 (ponieważ pojawia się dwukrotnie). Liczby powtarzające łączymy w pary i liczymy ilość tych par: jest jedna para trójek, dlatego wyłączmy liczbę 3 raz przed pierwiastek, czyli pod pierwiastkiem zostaje nam tylko 2, czyli: .

II sposób:
(Korzystamy z tego, że oraz z tego, że )
.

b) Zaczynamy od rozkładu liczby 48 na czynniki pierwsze:

A zatem

I sposób: patrzymy, która liczba z rozkładu na czynniki pierwsze powtarza się parzystą liczbę razy. Jest to liczba 2 (powtarza się ona cztery razy). Liczby powtarzające łączymy w pary i liczymy ilość tych par: są dwie pary dwójek, dlatego wyłączmy liczbę 2 dwa razy przed pierwiastek, czyli pod pierwiastkiem zostaje nam tylko liczba 3, czyli: .

II sposób:
.

c) Nie zrażamy się „iksem” i zaczynamy rozkład na czynniki pierwsze liczby 92x2:

A zatem

I sposób: patrzymy, która liczba z rozkładu na czynniki pierwsze powtarza się parzystą liczbę razy. Jest to liczba 2 oraz x (obie powtarzają się dwukrotnie). Liczby powtarzające łączymy w pary i liczymy ilość tych par: jest jedna para dwójek oraz jedna para „iksów”, dlatego zarówno liczbę 2, jak i „x” wyłączamy raz przed pierwiastek, czyli pod pierwiastkiem zostanie nam tylko liczba 23, czyli:
.

II sposób:
.

Podsumowanie:
Z tego opracowania dowiedziałeś się jak wyłączać czynnik przed pierwiastek.