Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka

W tym opracowaniu zajmiemy się wyłączaniem czynnika przed znak pierwiastka.
Zacznijmy od przypomnienia czym w ogóle jest pierwiastek.
Pierwiastki mogą być różnego stopnia i z różnych liczb, jednak możemy zapisać jeden ogólny wzór.

„n” to stopień pierwiastka
„a” to liczba z, której wyciągamy pierwiastek
„b” to wynik pierwiastkowania
Skąd wiedzieć jak spierwiastkować jakąś liczbę?

Podajmy kilka przykładów pierwiastków i ich wyniki.
Gdy w miejscu „n” nie jest nic zapisane oznacza, że pierwiastek jest stopnia 2.
zastanawiamy się jaka liczba podniesiona do potęgi 2 (stopień pierwiastka) daje nam 4. Jest to 2,bo , więc .
zastanawiamy się jaka liczba podniesiona do potęgi 2 (stopień pierwiastka) daje nam 9. Jest to 3, bo , więc .
zastanawiamy się jaka liczba podniesiona do potęgi 2 (stopień pierwiastka) daje nam 36. Jest to 6, bo , więc .
zastanawiamy się jaka liczba podniesiona do potęgi 3!! (inny stopień pierwiastka niż w przykładach wyżej) daje nam 64. Jest to 4, bo . Zatem .
zastanawiamy się jaka liczba podniesiona do potęgi 3!! (stopień pierwiastka) daje nam 125. Jest to 5, bo . Zatem .

Niektórych liczb nie da się spierwiastkować.
Przykłady:
, bo żadna liczba podniesiona do 2 potęgi (stopień pierwiastka) nie daje nam 3.
, bo żadna liczba podniesiona do 2 potęgi (stopień pierwiastka) nie daje nam 13.
, bo żadna liczba podniesiona do 3 potęgi (stopień pierwiastka) nie daje nam 10.

Jeżeli chodzi o wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka to wzór z, którego będziemy korzystać to:
.
Jak to wygląda w praktyce?
Przykład:

Żeby zrozumieć jak wyłączać czynnik przed znak pierwiastka musimy zrobić dużo przykładów. Zróbmy więc kilka zadanek.

Zadanie 1.
Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka:
a)
b)
c)
Zacznijmy od podpunktu a.
Żeby wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka musimy liczbę pod pierwiastkiem zamienić na mnożenie liczb z, których przynajmniej jedna da się spierwiastkować.

Wiemy, że
Sprawdzamy zatem czy któraś z tych cyfr się pierwiastkuje.
Rozpiszmy to:

Wiemy, że to 3, bo
Możemy więc pierwiastek z 9 zamienić na 3 i otrzymujemy:

Jeśli wiemy już na czym to polega i w jaki sposób działamy przejdźmy do podpunktu b.

Zastanówmy się jaki iloczyn pozwala nam otrzymać 32
Jest to lub

Sprawdźmy najpierw ten pierwszy iloczyn. Rozpiszmy liczbę pod pierwiastkiem i sprawdźmy czy coś nam się uda spierwiastkować.

Wiemy, że to 4, bo
Pierwiastek z 16 możemy zamienić na 4.

Sprawdźmy co gdybyśmy skorzystali z iloczynu
Zapiszmy to:

Pierwiastek z 4 możemy zamienić na 2, bo

Zastanawiamy się, czy 8 da się jeszcze jakoś rozłożyć.

Znowu pojawia nam się pierwiastek z 4, który zamieniamy na 2:

Przejdźmy do podpunktu c.

Zastanówmy się z jakich iloczynów możemy otrzymać 40.
Będzie to: lub lub
Zacznijmy od tego pierwszego iloczynu.
Pierwiastek mamy 3 stopnia.
Żadna liczba podniesiona do potęgi 3 nie da nam 4 oraz żadna liczba podniesiona do potęgi 3 nie da nam 10.
Iloczyn pierwszy odrzucamy.
Sprawdzamy drugi iloczyn.
Żadna liczba podniesiona do potęgi 3 nie daje nam 2 oraz żadna liczba podniesiona do potęgi 3 nie da nam 20.
Iloczyn drugi odrzucamy.
Sprawdzamy zatem 3 iloczyn.
Może nam już w tym momencie „zaświecić się lampka”, że 2 podniesiona do potęgi 3 da nam 8, więc wykorzystamy ten iloczyn.

Wynik, który nam powstał gdybyśmy chcieli odczytać słownie to będziemy mówić „dwa pierwiastki trzeciego stopnia z pięciu”.

Oczywiście własność ta działa też w drugą stronę, czyli mając pierwiastek z wyłączonym czynnikiem przed możemy stworzyć pierwiastek bez wyłączonego czynnika.
Jak wtedy postępujemy?
Ćwiczenie.
Włącz czynnik pod pierwiastek, zapisz jak słownie byśmy odczytali z wyłączonym czynnikiem oraz z włączonym pod pierwiastek:
a)
b)
c)
Żeby włączyć czynnik pod pierwiastek liczbę, którą mamy przed pierwiastkiem podnosimy do takiej potęgi jakiej jest pierwiastek i mnożymy przez liczbę pod pierwiastkiem.
a) – dwa pierwiastki z dwóch
Pierwiastek 2 stopnia więc to co stoi przed pierwiastkiem (2) podnosimy do potęgi 2.
– pierwiastek z ośmiu
b) – trzy pierwiastki z dwóch
Pierwiastek 2 stopnia więc to co przed pierwiastkiem (3) podnosimy do potęgi 2( do kwadratu).
– pierwiastek z osiemnastu
c) – pięć pierwiastków z trzech
Pierwiastek 2 stopnia, więc to co przed pierwiastkiem (5) podnosimy do potęgi 2.
– pierwiastek z siedemdziesięciu pięciu

Mam nadzieję, że zrozumieliście ten temat i będziecie ćwiczyć, ponieważ tylko zadania zagwarantują nam zrozumienie i naukę tematu, który obecnie chcemy przyswoić.