Wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi możemy znaleźć (o ile istnieją) pierwiastki całkowite oraz wymierne.
Zapiszmy twierdzenia, które potem zastosujemy w zadaniu.
Jeżeli wielomian ma pierwiastki całkowite, to są one dzielnikami wyrazu wolnego
Jeżeli wielomian ma pierwiastki wymierne, to mają one postać . Gdzie liczbami postaci p są dzielniki wyrazu wolnego, a liczby postaci q to dzielniki współczynnika, stojącego przy najwyższej potędze wielomianu.
Rozwiążmy przykładowe zadanie.
Wyznacz pierwiastki wymierne wielomianu W(x)= 3x3-x2+3x-1.
Skorzystajmy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
W takim razie wyznaczmy dzielniki wyrazu wolnego, czyli -1, które oznaczymy jako p.
p:{ -1,1}
Teraz wyznaczymy dzielniki współczynnika, który stoi przy najwyższej potędze wielomianu. W naszym przypadku jest to 3.
q:{1;-1;3;-1}
Zapiszmy teraz możliwe kombinacje :




Wyznaczyliśmy możliwości, które teraz musimy sprawdzić.
Żeby sprawdzić czy liczba jest pierwiastkiem wielomianu musimy sprawdzić, czy po podstawieniu za x, wartość wielomianu równy jest 0.
Najpierw sprawdźmy 1.
W(1)= = =
Wartość W(1) jest różna od zera, zatem 1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Sprawdźmy -1.
W(-1)= = =
Liczba -1 nie jest pierwiastkiem tego wielomianu.
Zostało nam do sprawdzenia oraz .
Sprawdźmy .
W()= = =0
W takim razie jest pierwiastkiem wielomianu.
Pozostało nam jeszcze sprawdzić .
W()==
Jedynym pierwiastkiem tego wielomianu jest .

Miłej nauki!!