Wyrażenie algebraiczne

Czym są wyrażenia algebraiczne?

Najprościej można powiedzieć, że połącznie liter z cyframi przy użyciu znaków matematycznych to wyrażenie algebraiczne.
Przykładami takich wyrażeń mogą być: , , .
Przykładów tych jest na prawdę bardzo dużo, dlatego też nie będę wypisywać tutaj wszystkich.

Czy w języku naturalnym też występują wyrażenia algebraiczne?

Oczywiście, że tak. Każde wyrażenie algebraiczne możemy zapisać słownie, czy też po prostu możemy je wypowiedzieć. Spróbujmy teraz przypomnieć sobie te nazewnictwo.
x+y suma liczb x i y
x-y różnica liczb x i y
x y iloczyn liczb x i y
x : y iloraz liczb x i y
4x liczba cztery razy większa od x
2x podwojona liczba x
0,5x połowa liczby x
kwadrat liczby x
sześcian liczby x
x-8 liczba o 8 mniejsza od x
x+5 liczba o 5 większa od x
kwadrat sumy liczb x i y

UWAGA
Zanim przejdziemy do trudniejszych rzeczy pragnę zaznaczyć, że zamiast pisania kropki, mając na myśli mnożenie (iloczyn), możemy zastąpić ją po prostu niczym, a więc gdy chcemy np. pomnożyć pierwiastek z trzech razy 5, to nie musimy pisać . Oczywiście tak tez możemy zapisać, lecz taka postać jest dłuższa, a przy dłuższych obliczeniach matematycznych taka forma może być myląca i zajmująca bardzo dużo miejsca. Dlatego też alternatywą dla tego zapisu jest .

Czy możemy obliczać wartość liczbową dla wyrażeń algebraicznych?

Oczywiście, że tak. Wystarczy daną wartość podstawić pod daną zmienną, obliczyć wynik i gotowe! Przejdźmy w takim razie do zadań.

Zadanie 1
Oblicz dla x=5 wartość wyrażenia obok:

Rozwiązanie

Odpowiedź: Dla x = 5 wyrażenie ma wartość 66.

Zadanie 2
Dla x=4 oblicz wyrażenie:

Rozwiązanie
Podstawiamy 4 pod każdego x

Odpowiedź: Dla x=4 wyrażenie ma wartość -89.

Zadanie 3
Oblicz wartość poniższego wyrażenia dla x=2

W związku z tym, że wyrażenie te wygląda na troszke skomplikowane, zaczniemy od „zwinięcia” tego wyrażenia w krótszą wersję. Oznacza to, że będziemy rozwijać pierwszy nawias (podniesiemy do drugiej potęgi) oraz rozpoznamy wzór skróconego mnożenia w drugiej części wyrażenia.

Ostatnie wyrażenie jest w najprostszej postaci. W takim wypadku podstawiamy teraz pod x dwójkę.

Odpowiedź: Wyrażenie dla x=2 przyjmuje wartość 3.

Przejdźmy teraz do kolejnej części jaką są jednomiany. Litery wraz z liczbą połączona znakiem mnożenia to nic innego jak jednomian.
Przykładowymi jednomianami mogą być: x,
1x 7 4 6
Jak widzisz, powyżej w jednomianach zaznaczyłam liczby. Są one współczynnikami liczbowymi jednomianu.
Warto również wspomnieć, że każdy jednomian ma, a raczej musi posiadać współczynnik liczbowy. Jeśli nie jest on zapisany, a więc jednomian wygląda np. xy, y, , to tak jakby jest przed nimi zapisana taka „niewidzialna” jedynka. Niezapisywanie jej ułatwia często liczenie. Gdy współczynnik liczbowy nie jest zapisany to wynosi on 1.

Na samym końcu warto jeszcze wspomnieć o tym, że gdy mamy więcej takich wyrażeń algebraicznych, to dla estetyki warto ułożyć je w ładnej kolejności. Mimo tego, że przemienność mnożenia występuje, to ustawienie składników jednomianu w kolejności, a więc najpierw współczynnik liczbowy a potem zmienne ułożone alfabetycznie (literki) ułatwia nie tylko liczenie, ale też dla wzrokowców taka postać lepiej wygląda.

Zadanie 3
Zmień postać tego jednomianu, aby jednomian miał postać uporządkowaną.

Aby rozwiązać takie zadanie należy przemnożyć wszystkie składniki, a następnie ułożyć je w kolejności: współczynnik liczbowy, zmienne.

Pod koniec warto jeszcze wspomnieć o dodawaniu i mnożeniu wyrażeń algebraicznych.

Zacznijmy od dodawania. Upraszczanie wyrażeń algebraicznych może nastąpić, gdy dodawane jednomiany są podobne. Jednomiany podobne charakteryzują się tym, że mają różne współczynniki liczbowe (mogą być też takie same), lecz zmienne muszą być takie same.
Jednomianami podobnymi są zatem: x, 3x, , —> liczba x
Jednomianami niepodobnymi są: , ,

Ćwiczenie
Uprość wyrażenie:

Czas na mnożenie wyrażeń algebraicznych. Ta czynność jest bardzo prosta. Działa tutaj zasada: mnożymy każdy przez każdego.

Ćwiczenie
Wykonaj poniższe obliczenia.
Przez 5 mnożymy każdy element z „nawiasu”
Najpierw mnożymy 5x przez każdy element z drugiego nawiasu. Później mnożymy 1 przez każdy element z drugiego nawiasu. Następnie podajemy wyrazy podobne i otrzymujemy wynik.

Ponadto, z tym tematem wiążą się zadania związane ze wzorami skróconego mnożenia. Wzory tych wzorów są pokazane poniżej.