Wyznacz dziedzinę funkcji

Wyznaczenie dziedziny funkcji polega na usunięciu ze zbioru liczb rzeczywistych wszystkich liczb, których nie można podstawić do wzoru funkcji, tak aby nie uczynić działania niezgodnego z zasadami matematyki, tzn. należy usunąć z funkcji te liczby, które podstawione do wzoru funkcji dziedziny pod niewiadomą x, skutkują, że musimy dzielić przez 0 lub operować pierwiastkiem z liczby ujemnej.

Nie dzielimy przez 0, czyli nie operujemy ułamkami z 0 w mianowniku:

f(x)=
D(dziedzina):
x≠0
D=R-{0}
f(x)=
D:
x-2≠0
x≠2
D=R-{2}
f(x)=
D:
-x≠0
x≠0
D=R-{0}
f(x)=
D:
(-x) ≠0
-x≠
≠0
x≠0

Nie operujemy pierwiastkami z liczb ujemnych:

x≥0
D=<0;∞)

f(x)=
D:
5x≥0
x≥0
D=<0;∞)
f(x)=
D:
6-x≥0
6≥x
x≤6
D=(-∞:6>

Czasem trzeba wykluczyć 0 z mianownika i liczby ujemne z pierwiastka w jednym przykładzie:
f(x)=
D:
x-2≠0 ∧ x-2≥0
To znaczy, że x-2>0
x>2
D=<2;∞)
Jeśli ≠0, to znaczy, że ≠02 i x≠0:
f(x)=
D:
≠0 ∧ x-2≥0 ∧ ≠0∧ x≥0 ∧ x≠0
x-2≠0 ∧ x-2≥0 ∧ x≠0∧ x≥0 ∧ x≠0
x-2>0 ∧ x>0
x>2 ∧ x>0
W takiej sytuacji trzeba uwzględnić obie nierówności. Jeśli liczba jest większa od 2, to na pewno jest większa od 0.
D=<2;∞)

W określaniu dziedziny często przydają się wzory skróconego mnożenia.
f(x)=
D:
x2 -2 x+3≠0
(x- )2 ≠0
x- ≠0
x≠{ }
D=R-
f(x)=
≠0
(4-x)(4+x)≠0
4-x≠0 ∧ 4+x≠0
x≠4 ∧ x≠-4
D= R-{4;-4}

Czasem musimy zadać sobie nieco trudu aby odnaleźć wzór skróconego mnożenia.
f(x)=
D:
7x3+126x2 + 7≥0
Wyciągamy czynnik przed nawias:
D:
7x(x2+18x+9)≥0
x≥0 ∧ (x+3)2≥0
x≥0 ∧ x+3≥0
x≥0 ∧ x≥-3
W tego typu obliczeniach warto wykonać szkic, który ułatwi nam określenie dziedziny.
D=<0;∞)

Rozpatrzmy inny przykład, w którym warto wykonać szkic, aby określić dziedzinę:
f(x)=
D:
x≥0 ∧ 3-x≠0 ∧ x-4≠0
x≥0 ∧ x≠-3 ∧ x≠4

D= <0;∞)-{4}

Odczytajmy dziedzinę z wykresu funkcji (szkic):

D=(-∞;0> ∪ <1;3> – {2}
Pamiętajmy, aby dziedzinę podawać na podstawie osi X, nie Y!

A teraz rozpatrzmy przykład, w którym dziedzina jest rzeczywista:
f(x)=
-(7-9)(7+9)≥0
-(49-81)≥0
-(-32)≥0
32≥0
prawda
D=R