Wyznacz miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. Inaczej to taki x należący do dziedziny funkcji, (czyli wartości dozwolonych do podstawienia do wzoru funkcji), dla którego y=0. Miejsce zerowe na wykresie funkcji ma zawsze współrzędne (x, 0), gdzie y ma zawsze wartość zero. Miejsce zerowe możemy oznaczyć symbolem x0 i przedstawiać jako współrzędną, np. x0=(4,0) lub podając samą wartość argumentu x, np. x0=4 dla przykładowej funkcji f(x)=x-4. Miejsc zerowych funkcji może nie być wcale, może być jedno, kilka, a może być ich nieskończenie wiele.

Jak wyznaczyć miejsce zerowe funkcji, gdy podany jest wykres?
Na wykresie wystarczy znaleźć takie punkty, które przecinają oś X, czyli mają wartość y=0. To nic trudnego, ale trzeba koniecznie wystrzec się błędu podania punktów, które nie leżą na osi X, choć może się tak wydawać. Są one oznaczone na osi kropką bez wypełnienia. Innym częstym błędem jest podanie punktu, który ma wartość x=0, a za to y≠0.

A jak wyznaczyć miejsce zerowe funkcji, gdy znamy wzór funkcji?
1) poznajmy dziedzinę- to podstawa! Musimy wiedzieć jakie argumenty są dozwolone. Nie musimy się o nic martwić, jeśli dziedzina jest podana, ale gdy jej nie ma, rozwiązywanie zadania powinniśmy rozpocząć od jej wyznaczenia. Pamiętajmy, że liczba pod pierwiastkiem parzystego stopnia musi być nieujemna, a mianownik ułamka nie może być równy 0. Dlatego z dziedziny wyrzucamy wszystkie x, które podstawione do wzoru funkcji powodują, że mianownik jest równy 0 lub liczba od pierwiastkiem jest ujemna.
2) do wzoru funkcji podstawiamy y=0 i szukamy x spełniającego równanie. Kiedy znajdziemy taki jeden lub wiele x-ów, sprawdźmy, czy należą do dziedziny. I gotowe!

A co jeśli mamy do czynienia z funkcją, która stosuje różne wzory dla różnych argumentów? Nie musimy tu poszukiwać dziedziny, bo jest ona zawsze podana. Od razu przystępujemy do podstawiania 0 pod y. Robimy to konsekwentnie dla każdego wzoru, który stosuje ta funkcja i sprawdzamy, czy wartości x należą do takiego zbioru argumentów, dla którego funkcja stosuje wykorzystany właśnie wzór. I gotowe!
Wykonajmy teraz kilka zadań.
Zad. 1 Z wykresu poniższego wykresu funkcji (szkic) odczytaj miejsca zerowe.

Widzimy, że punkty -2, 1 i przedział od 3 do 4 na osi X odpowiadają wartościom y leżącym na osi X. Punkt -1 nie jest miejscem zerowym, bo jest zaznaczony kółeczkiem bez wypełnienia. x0∈ {-2; 1} ∪ <3;4>

Zad. 2 Wyznacz miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem f(x)= .
Wyznaczamy dziedzinę:
x x≠0
x>0
D=(0;∞)
Teraz obliczamy x dla y=0
0= (mnożymy obie strony przez x)
0=
x=0 D
brak miejsc zerowych

Zad. 3
Podaj miejsca zerowe funkcji

Sprawdzamy po kolei każdy wzór.
0=-x mnożymy obie strony razy (-1)
x=0 {1}
0=2x dzielimy obie strony przez 2
x=0 (0;3>
0=x
x=0 (-9:0>
x0=0
I gotowe!