Opracowanie: Wyznaczanie ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Wyznaczanie ekstremum funkcji dwóch zmiennych
Zweryfikowane
Schemat wyznaczania ekstremum funkcji dwóch zmiennych: wyznaczamy pochodne cząstkowe i przyrównujemy je do 0 z powstałego układu równań wyliczamy punkty podejrzane wyznaczamy macierz Hessego określamy czy macierz jest dodatnio czy ujemnie określona Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie. Obliczamy pochodne cząstkowe.
Przyrównujemy do 0:
Dziele oba równania stronami przez 4
Dodaję równania do siebie. Podstawiam do pierwszego równania. lub lub
Zatem mamy 3 punkty podejrzane.
Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
Wyznaczamy macierz Hessego (macierz drugich pochodnych cząstkowych funkcji f). Wzór ogólny to:
=
Teraz każdy punkt podstawiamy do macierzy. Dla każdego punktu podejrzanego, chcemy sprawdzić określoność hesjanu. A mianowicie: > Hesjan jest dodatnio określony, gdy każdy jego minor główny jest dodatni (zachodzi „ „) > Hesjan jest ujemnie określony, gdy zachodzi „” czyli taka przeplatana kolejność mówiąc potocznie.
Pokażę jak to wygląda w praktyce:
20
4
4
20
Hesjan jest dodatnio określony ponieważ > 0 (możemy równie dobrze wziąć ) oraz > 0. Mamy dodatnio określony. Hesjan dodatnio określony więc w tym punkcie mamy minimum lokalne.
20
4
4
20
Taki sam hesjan więc taka sama sytuacja. W tym punkcie również mamy minimum lokalne.
-4
4
4
-4
< 0 oraz W przypadku gdy wyznacznik hesjanu równy jest 0 nie wiadomo, czy istnieje ekstremum.
Z definicji ekstremum: funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie (należącym do dziedziny funkcji), gdy w każdym punkcie (należącym do otoczenia punktu a zachodzi nierówność funkcja f ma minimum lokalne w punkcie , gdy w każdym punkcie zachodzi nierówność Weźmy dw punkty z otoczenia punktu (0,0): < >
Zatem funkcja f nie ma ekstremum w (0,0)
Odpowiedź: Funkcja f ma minimum lokalne w punktach
oraz .
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
