Wyznacznik macierzy oznaczamy przez lub
Obliczanie wyznacznika macierzy jest przydatne w wielu dziedzinach matematyki, na przykład w algebrze czy analizie matematycznej.
Macierz, której wyznacznik się zeruje nazywamy macierzą osobliwą, a jeśli wyznacznik jest różny od zera – nieosobliwą.
Własności wyznacznika:
> Wyznaczniki macierzy i macierzy transponowanej są sobie równe.
> zachodzi
> jeżeli jedna kolumna macierzy składa się z samych zer, to wyznacznik tej macierzy będzie równy zero
> jeżeli macierz ma dwa takie same wiersze to wyznacznik tej macierzy będzie równy zero
> wyznacznik będzie równy zero jeśli jakiś wiersz, bądź kolumna jest kombinacją liniową innego wiersza, bądź kolumny
> jeżeli w macierzy A zamienimy miejscami dwa wiersze do wyznacznik powstałej macierzy będzie równy
Obliczanie wyznacznika:
> Wyznacznik macierzy x to po prostu liczba, która tworzy naszą macierz
przykładowo:
> Wyznacznik macierzy x to po prostu różnica iloczynów elementów zaznaczonych na niebiesko i czerwono
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
przykładowo:
|
|
|
2
|
1
|
|
|
-1
| ||
4
|
> Wyznacznik macierzy x
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
| ||||
|
|
|
|
|
|
przykładowo:
|
6
|
2
|
5
|
|
|
|
|
| ||||
| ||||
| ||||
-4
|
0
|
1
|
0
|
1
|
3
|
Pokaże teraz metodę obliczenia tego wyznacznika zapamiętywania wzoru. Metodę tą nazywamy Regułą Sarrusa.
A mianowicie:
KROK 1. Najpierw pierwsze dwa wiersze zapisuję pod macierzą, w ten sposób:
6
|
2
|
5
|
-4
|
0
|
1
|
0
|
1
|
3
|
6
|
2
|
5
|
-4
|
0
|
1
|
KROK 2. Następnie mnożymy ze sobą cyfry po skosie i dodajemy ich iloczyny (dla ułatwienia zaznaczyłam kolorami co trzeba wymnożyć ze sobą). Zatem mamy …. i teraz należy jeszcze odjąć iloczyny cyfr, które zaznaczyłam poniżej
6
|
2
|
5
|
-4
|
0
|
1
|
0
|
1
|
3
|
6
|
2
|
5
|
-4
|
0
|
1
|
Ostatecznie wyznacznik będzie równy
Tą metodę można również użyć zapisując dwie pierwsze kolumny obok macierzy (jako czwartą i piątą kolumnę). Zobacz na tym samym przykładzie:
6
|
2
|
5
|
6
|
2
|
-4
|
0
|
1
|
-4
|
0
|
0
|
1
|
3
|
0
|
1
|
Mnożymy tak samo jak wyżej kolorami i dodajemy iloczyny, a później
6
|
2
|
5
|
6
|
2
|
-4
|
0
|
1
|
-4
|
0
|
0
|
1
|
3
|
0
|
1
|
> Wyznacznik macierzy x i macierzy o większym wymiarze
Istnieje kilka metod obliczania wyznacznika większych macierzy. Ja pokażę tą, z której najczęściej korzystam.
Metoda Laplace’a
KROK 1. Poprzez operacje na kolumnach doprowadzamy do sytuacji, gdzie będziemy mieć jak najwięcej zer w wierszu. Pokażę to na przykładzie. Niech
|
|
|
1
|
2
|
0
|
1
|
-1
|
5
|
1
|
1
|
1
|
1
|
-3
|
2
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
Pierwszą kolumnę zostawimy i do drugiej kolumny dodamy pierwszą pomnożoną przez 3, a do trzeciej kolumny dodamy pierwszą pomnożoną przez 2, no i ostatnią kolumnę również zostawimy. Zobaczmy dlaczego wybrałam takie operacje:
|
|
|
1
|
2 + 3 1
|
0 + 2 1
|
1
|
|
|
|
1
|
5
|
2
|
1
|
-1
|
5 + 3 (-1)
|
1 + 2 (-1)
|
1
|
-1
|
2
|
-1
|
1
|
1
|
1 + 3 1
|
-3 + 2 1
|
2
|
1
|
4
|
-1
|
2
|
-2
|
6 + 3 (-2)
|
4 + 2 (-2)
|
0
|
-2
|
0
|
0
|
0
|
Jak widzimy w ostatnim wierszu mamy 3 zera, czyli udało nam się doprowadzić do sytuacji, gdzie mamy w tym przykładzie najwięcej możliwych zer w wierszu)
Przechodzimy zatem do następnego kroku.
KROK 2.
Patrzymy na nasz wiersz z największą liczbą zer i sprawdzamy gdzie znajduje się nasze -2. A mianowicie w pierwszej (1) kolumnie i czwartym (4) wierszu, a zatem jest to . Zaznaczamy kolorem lub skreślamy jedną kreską ten wiersz i tę kolumnę. I postępujemy dalej według wzoru.
|
|
|
1
|
5
|
2
|
1
|
-1
|
2
|
-1
|
1
|
1
|
4
|
-1
|
2
|
-2
|
0
|
0
|
0
|
,
gdzie det(B) jest wyznacznikiem macierzy powstałej po wykreśleniu kolumny i wiersza (u mnie cyfry te zostały w kolorze czarnym, jest to zatem macierz 3 x 3)
KROK 3.
|
|
|
5
|
2
|
1
|
|
|
|
| ||
| ||
2
| ||
-1
|
1
|
4
|
-1
|
2
|
Zatem ostatecznie
|
