Opracowanie:
Wyznacznik macierzy 4×4
Wyznacznik macierzy x
Jak obliczyć wyznacznik macierzy x ? Aby nie pomylić się w skomplikowanych obliczeniach przy obliczaniu takiego wyznacznika klasycznym sposobem pokażę Ci bardziej przystępną metodę jaką jest..
Metoda eliminacji Gaussa
Obliczanie wyznacznika macierzy w metodzie Gaussa sprowadza się do doprowadzenie macierzy do postaci schodkowej.
Co to jest postać schodkowa macierzy?
Potocznie mówiąc macierz schodkowa to taka, w której pod 'przekątną ’ znajdują się same zera’. Przykład macierzy schodkowej 4 x 4:
2
|
|
4
|
-3
|
2
|
0
|
1
|
5
|
0
|
0
|
0
|
-2
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
3
|
Pokażę jak wyznaczyć wyznacznik macierzy 4 x 4
Uwaga! W tej metodzie operacje elementarne takie jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie wykonujemy na wierszach nie kolumnach!
KROK 1. Weźmy macierz A
|
A=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
-1
|
5
|
1
|
1
|
1
|
1
|
-3
|
2
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
Wykonam kilka operacji elementarnych na wierszach. Postaram się opisać czym się kieruję w wyborze każdej operacji.
Najlepiej będzie zacząć od wyzerowania i iść dalej w dół.
Do wiersza drugiego dodam wiersz pierwszy.
|
A=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
|
=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
-1 + 1
|
5 + 2
|
1 + 1
|
1 + 1
|
0
|
7
|
2
|
2
|
1
|
1
|
-3
|
2
|
1
|
1
|
-3
|
2
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
Teraz wyzerujemy wartość , w tym celu dodamy od trzeciego wiersza odejmiemy wiersz pierwszy
|
A=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
|
=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
7
|
2
|
2
|
1 – 1
|
1 – 2
|
-3 – 1
|
2 – 1
|
0
|
-1
|
-4
|
1
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
Następnie wyzerujemy , w tym celu dodamy do wiersza trzeciego wiersz drugi pomnożony przez
|
A=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
|
=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
-1 + 7
|
-4 + 2
|
1 + 2
|
0
|
0
|
-3
|
1
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
-2
|
6
|
4
|
0
|
Następnie wyzerujemy wartość , w tym celu do wiersza czwartego dodamy wiersz pierwszy pomnożony przez 2. Otrzymamy:
|
A=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
|
=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
0
|
-3
|
1
|
0
|
0
|
-3
|
1
|
-2 + 1 2
|
6 + 2 2
|
4 + 1 2
|
0 + 1 2
|
0
|
10
|
6
|
2
|
Pozostało nam wyzerować oraz . Od wiersza czwartego odejmiemy wiersz drugi pomnożony przez .
|
A=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
|
=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
0
|
-3
|
1
|
0
|
0
|
-3
|
1
|
0
|
10 – 7
|
6 – 2
|
2 – 2
|
0
|
0
|
|
–
|
Następnie do wiersza czwartego dodajmy wiersz trzeci pomnożony przez –
|
A=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
|
=
|
|
1
|
2
|
1
|
1
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
7
|
2
|
2
|
0
|
0
|
-3
|
1
|
0
|
0
|
-3
|
1
|
0
|
0
|
+ (-3)
|
– + 1
|
0
|
0
|
0
|
|
Doprowadziliśmy do macierzy schodkowej. Teraz należy policzyć wyznacznik klasycznym sposobem. Zauważmy jednak, że dzięki naszym zerom wyznacznik będzie po prostu równy iloczynowi wartości na 'przekątnej’
A zatem
|
Powyższe zadanie zostało zweryfikowane przez nauczyciela
