Wzór de moivre’a – potęgowanie liczb zespolonych

Liczby zespolone są uznawane za elementy rozszerzenia ciała liczb rzeczywistych o tzw. i – jednostkę urojoną. Jest on pierwiastkiem wielomianu . Liczby zespolone spełniają funkcję poszerzania stanowiska jednowymiarowej osi liczbowej do dwumiarowej płaszczyzny zespolonej. Do przedstawienia koncepcji możemy posłużyć się układem współrzędnych, gdzie oś X wyznacza liczby rzeczywiste, a oś Y – urojone.

Liczby zespolone z argumentami oraz możemy przedstawić z trygonometrycznym zapisie:

Przedstawienie iloczynu liczb z i w

Wzór de Moivre’a
Dla wszystkich liczb zachodzi wzór:

Ćwiczenie 1
Podana jest liczba . Oblicz .

Rozwiązanie
Najpierw trzeba zaznaczyć liczbę w układzie współrzędnych – 1 przy osi X, a jako przekątną pociągniętą od środka układu współrzędnych do punktu obrać jako |z|. Punkt z będzie miał współrzędne równe

Następnym krokiem jest obliczenie niezbędnego modułu:

Dalej musimy policzyć argument

Skoro wiemy, że kąt leży w ostatniej, IV ćwiartce, możemy ustalić, że pi (lub 3 90* + 45* = 315*)

Przedostatnim krokiem jest przedstawienie liczby w trygonometrycznej postaci
(cos )

Na koniec liczymy ze wzoru Moivre’a