Wzór Herona

Wzór Herona
Wzór Herona- wzór który pozwala nam obliczyć pole trójkąta jeżeli są nam znane wszystkie boki tego trójkąta. Nazwa tego wzoru pochodzi od Herona, ponieważ u niego w księdze „metrica” był on podany.

Wzór Herona ma postać:

P=

p=
Objaśnienia symboli:
P-pole trójkąta
p-połowa obwodu trójkąta
a, b, c-długości boków trójkąta.

Warto zapamiętać
Wzór Herona można wykorzystać także do obliczania odcinków które nie tworzą trójkąta. W sytuacji gdy wszystkie trzy odcinki i punkty łączące je leżą na prostej, np. gdy zachodzi równość a+b=c, wyrażenie p-c równa się 0, to też powoduje, że S=0.

Można obliczyć pole trójkąta z wysokości które podstawiamy do wzoru Herona. Jeżeli ha, hb, hc są odpowiednio wysokościami boków a, b, c, to:
a= , b= , c= . Gdy podstawimy te wzory do wzoru Herona otrzymamy po małych przekształceniach:

S=

Zadanie 1
Oblicz pole trójkąta o wymiarach 4, 5 i 7.

1) zapisujemy wzór:
P=

2) aby policzyć pole ze wzoru Herona potrzebna jest nam połowa obwodu:
p= =

3) teraz gdy już mamy policzone p możemy podstawić do wzoru na pole:
P=
Wykonujemy działania w nawiasach pod pierwiastkiem:
P=
Teraz wymnażamy liczby pod pierwiastkiem:
P=
Zapewne niektórzy powiedzieliby, że to jest nasz wynik, jednak nie. Należy wyciągnąć pierwiastek:
P=

Odp: Pole trójkąta wynosi .

Zadanie 2
Oblicz pole trójkąta o podanych bokach wykorzystując wzór Herona
a)4, 6, 8
b)3, 4, 5
c)20, 23, 21

rozwiązanie:
a) obliczamy p:
p=
gdy mamy p możemy zacząć liczyć pole:
P=
Odp: Pole trójkąta wynosi .

b) obliczamy p:
p=
Obliczamy pole:
P=
Odp: Pole trójkąta wynosi 6.

c) obliczamy p:
p=
Teraz obliczamy pole:
P=
Odp: Pole trójkąta wynosi 24 .

Zadanie 3
Oblicz pole trójkąta prostokątnego którego jedna przyprostokątna wynosi 8, a przeciwprostokątna 10.

obliczamy drugą przyprostokątną z twierdzenia pitagorasa:
a2+b2=c2
82+b2=102
64+b2=100 |-64
b2=36
b=
b=6

obliczamy p:
p=

obliczamy pole trójkąta:
P=
Odp: Pole trójkąta wynosi 24.

Zadanie 4
Oblicz pole trójkąta o bokach a=190, b=122, c=90.
obliczamy p:
p=

obliczamy pole:
P=

Jak widać wyszła nam bardzo duża liczba, ale nie należy się bać takich liczb, trzeba wziąć po prostu kalkulator i liczyć co tylko się da 🙂
Odp: Pole trójkąta wynosi .

Zadanie 5
Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt o wymiarach 8, 5, 9.
musimy najpierw określić jaki jest wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt:
r=
teraz gdy już wiemy, że jest nam potrzebne pole trójkąta to obliczamy połowę obwodu:
p=
teraz możemy obliczyć pole trójkąta:
P=
obliczamy promień:
r=
Odp: Promień okręgu wynosi .
Jak widać ten wzór można wykorzystać w różnych zadaniach, musimy mieć dane dwa boki trójkąta ( jeśli jest to trójkąt prostokątny) lub 3 boki. Ten wzór jest o tyle fajny, że działa w każdym trójkącie także najlepiej jest go znać.

Zadanie 6
Oblicz bok c trójkąta mając dane: a=12, b=11, p=13.
określamy jaki wzór będzie nam potrzebny:
mamy dane p a nie mamy danego pola zatem będziemy korzystać z wzoru na p:
p=
podstawiamy do wzoru dane:
13=
najłatwiej będzie wymnożyć na krzyż w taki sposób, że 13 zamieniamy na i jedynkę mnożymy z górną częścią równania po drugiej stronie a 13 mnożymy z dolną częścią:

1 12+11+c=13 2
12+11+c=26
23+c=26 |-23
c=3
Odp: Bok c w trójkącie ma długość równą 3.